Determine a diferença de fase em milissegundos entre as seguintes formas de onda:
\begin{array}{ll} v=0,2 \operatorname{sen}\left(\omega t-60^{\circ}\right) & v=2 \cos \left(\omega t-30^{\circ}\right) \\\ i=0,1 \operatorname{sen}\left(\omega t-20^{\circ}\right) & i=5 \operatorname{sen}\left(\omega t+60^{\circ}\right) \end{array}

Passo 1

O enunciado apresenta duas pares de formas de onda organizadas em duas colunas e duas linhas. Precisamos achar a diferença de fase, convertida para tempo em milissegundos, entre os sinais que aparecem em cada linha (ou seja, comparar as duas tensões entre si na primeira linha e comparar as duas correntes entre si na segunda linha). As informações relevantes que o enunciado dá são (vou reescrever cada forma explicitando sua fase):
\begin{aligned} \text{Tensão esquerda: } & v_1(t)=0{,}2\operatorname{sen}\bigl(\omega t-60^\circ\bigr)\quad\text{(fase } \varphi_{v1}=-60^\circ\text{)},\\\ \text{Tensão direita: } & v_2(t)=2\cos\bigl(\omega t-30^\circ\bigr)\quad\text{(forma em cosseno; fase a ser convertida)},\\[4pt] \text{Corrente esquerda: } & i_1(t)=0{,}1\operatorname{sen}\bigl(\omega t-20^\circ\bigr)\quad\text{(fase } \varphi_{i1}=-20^\circ\text{)},\\\ \text{Corrente direita: } & i_2(t)=5\operatorname{sen}\bigl(\omega t+60^\circ\bigr)\quad\text{(fase } \varphi_{i2}=+60^\circ\text{)}. \end{aligned}ãã
O que se pede: para cada linha (tensão e corrente) determinar a diferença de fase entre o sinal da direita e o da esquerda e transformar essa diferença de fase em tempo (milissegundos). O enunciado fornece \omega mas não um valor numérico para ela, então a resposta em tempo será dada em função de \omega (ou de T ou de f), salvo se quisermos exemplificar com uma frequência numérica qualquer.]

Passo 2

Entendendo fases e como compará-las (aula rapidinha e prática).
  • Uma forma geral é \operatorname{sen}(\omega t+\varphi). O número \varphi (em graus ou radianos) é a fase do sinal: dois sinais com fases diferentes estão deslocados no tempo um em relação ao outro.
  • Se quisermos converter uma diferença de fase \Delta\varphi (em radianos) em tempo, usamos a relação
\Delta t=\frac{\Delta\varphi_{\text{(rad)}}}{\omega},
porque um avanço de fase de \Delta\varphi_{\text{(rad)}} corresponde a um deslocamento temporal \Delta t tal que \omega\Delta t=\Delta\varphi_{\text{(rad)}}.
  • Em graus é conveniente usar \Delta t = \dfrac{\Delta\varphi_{\text{(deg)}}}{360^\circ}\,T, onde T é o período T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{1}{f}. Essas duas formas são equivalentes (graus → radianos → divisão por \omega).
  • Observação sobre sinais em cosseno: \cos\theta=\operatorname{sen}(\theta+90^\circ). Assim, para comparar fases sempre podemos reescrever cosseno como seno com um deslocamento de +90^\circ.

Passo 3

Converter a tensão da direita (cosseno) para seno para comparar fases diretamente e extrair as fases:
v_2(t)=2\cos(\omega t-30^\circ)=2\operatorname{sen}\bigl(\omega t-30^\circ+90^\circ\bigr)=2\operatorname{sen}\bigl(\omega t+60^\circ\bigr).
Logo a fase da tensão direita é \varphi_{v2}=+60^\circ. A tensão esquerda tinha \varphi_{v1}=-60^\circ.

Passo 4

Calcular a diferença de fase (direita menos esquerda) para as tensões:
\Delta\varphi_v=\varphi_{v2}-\varphi_{v1}=60^\circ-(-60^\circ)=120^\circ.
Interpretando: a tensão da direita está adiantada (lead) em 120^\circ em relação à tensão da esquerda. Agora convertemos esse ângulo em tempo:
usar \Delta t_v=\dfrac{\Delta\varphi_v}{360^\circ}\,T. Assim
\Delta t_v=\frac{120^\circ}{360^\circ}\,T=\frac{1}{3}T.
Em termos de \omega (lembrando T=\dfrac{2\pi}{\omega}):
\Delta t_v=\frac{1}{3}\cdot\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3\omega}\\ \text{s}.
Convertendo para milissegundos:
\Delta t_v=\frac{2\pi}{3\omega}\times 1000\\ \mathrm{ms}
ou, em função da frequência f (onde T=1/f):
\Delta t_v=\frac{1}{3f}\\ \text{s}=\frac{1000}{3f}\\ \mathrm{ms}.

Passo 5

Calcular a diferença de fase para as correntes:
as fases já estão em forma de seno:
\varphi_{i1}=-20^\circ e \varphi_{i2}=+60^\circ.
\Delta\varphi_i=\varphi_{i2}-\varphi_{i1}=60^\circ-(-20^\circ)=80^\circ.
Converter para tempo:
\Delta t_i=\frac{\Delta\varphi_i}{360^\circ}\,T=\frac{80^\circ}{360^\circ}\,T=\frac{2}{9}T.
Em termos de \omega:
\Delta t_i=\frac{2}{9}\cdot\frac{2\pi}{\omega}=\frac{4\pi}{9\omega}\\ \text{s}.
Em milissegundos:
\Delta t_i=\frac{4\pi}{9\omega}\times 1000\\ \mathrm{ms}
ou em função de f:
\Delta t_i=\frac{2}{9f}\\ \text{s}=\frac{2000}{9f}\\ \mathrm{ms}.

Passo 6

Resumo numérico de exemplo (opcional, só para intuir magnitudes): se a frequência fosse f=50\\ \mathrm{Hz} então T=20\\ \mathrm{ms} e
\Delta t_v=\frac{1}{3}T=\frac{20}{3}\\ \mathrm{ms}\approx 6{,}667\\ \mathrm{ms}, \qquad \Delta t_i=\frac{2}{9}T=\frac{40}{9}\\ \mathrm{ms}\approx 4{,}444\\ \mathrm{ms}.
(Isto só é um exemplo; a resposta geral permanece em função de \omega ou f.)

Resposta

\Delta\varphi_v=120^\circ,\quad \Delta t_v=\dfrac{1}{3}T=\dfrac{2\pi}{3\omega}\\ \mathrm{s}=\dfrac{1000}{3f}\\ \mathrm{ms}\n
\Delta\varphi_i=80^\circ,\quad \Delta t_i=\dfrac{2}{9}T=\dfrac{4\pi}{9\omega}\\ \mathrm{s}=\dfrac{2000}{9f}\\ \mathrm{ms}

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