Dado o valor \mathrm{w}=200 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine o intervalo de tempo necessário para a forma de onda senoidal passar no ponto correspondente a 90^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá o valor da frequência angular e pede o tempo necessário para a forma de onda senoidal atingir o ponto correspondente a 90^\circ.
Informações dadas:
\omega = 200\\ \mathrm{rad/s}
O que é pedido:
  • O intervalo de tempo t tal que a fase da senóide atinja 90^\circ.
Observação (sem resolver ainda): vou assumir que, no instante t=0, a fase inicial é 0^\circ (ou seja, a senoide começa em fase zero). Se a fase inicial fosse diferente, precisaríamos subtrair essa fase inicial — isso eu explico mais adiante.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (aula rápida): para uma senoide pura sem deslocamento de fase inicial, a fase instantânea \theta(t) está relacionada com a frequência angular por
\theta(t)=\omega t.
Aqui:
  • \theta(t) é a fase em radianos no instante t,
  • \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s},
  • t é o tempo em segundos.
Queremos o instante em que \theta(t)=90^\circ. Importante: ângulos nas fórmulas trigonométricas devem estar em radianos quando usamos \omega em \mathrm{rad/s}. Então primeiro convertemos 90^\circ para radianos.

Passo 3

Converter 90^\circ para radianos. A relação de conversão é
\text{radianos} = \text{graus}\times\frac{\pi}{180}.
Logo,
90^\circ = 90\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.

Passo 4

Agora impomos a condição de fase:
\omega t = \frac{\pi}{2}.
Isolando t:
t = \frac{\pi/2}{\omega} = \frac{\pi}{2\omega}.
Substituindo \omega=200\\ \mathrm{rad/s}:
t = \frac{\pi}{2\cdot 200} = \frac{\pi}{400}\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma resposta, via período): o período da senoide é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{200}=\frac{\pi}{100}\\ \mathrm{s}.
O tempo para deslocar 90^\circ é um quarto do período:
t=\frac{T}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{100}=\frac{\pi}{400}\\ \mathrm{s},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Avaliação numérica e interpretação prática. Calculando numericamente:
\frac{\pi}{400}\approx 0{,}00785398\\ \mathrm{s}.
Em unidades mais práticas:
t\approx 0{,}00785\\ \mathrm{s}=7{,}85\\ \mathrm{ms}.
Observação final e dica para prova: se a senoide tiver uma fase inicial \phi_0 (em radianos), a fórmula geral é
\omega t + \phi_0 = \theta_{\text{desejada}},
portanto
t=\frac{\theta_{\text{desejada}}-\phi_0}{\omega}.
Aqui usamos \phi_0=0.
Força aí — com esse passo a passo você já sabe como calcular qualquer tempo correspondente a qualquer ângulo de fase.

Resposta

t=\frac{\pi}{400}\\ \mathrm{s}
t\approx 0{,}00785\\ \mathrm{s}=7{,}85\\ \mathrm{ms}

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