Determine a diferencial da função.
z=x \ln \left(y^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a diferencial da função
z = x \ln\!\left(y^{2}+1\right).
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
  • A função depende de duas variáveis independentes: x e y.
  • É preciso encontrar a diferencial total dz, ou seja, a expressão que relaciona um pequeno incremento de z com pequenos incrementos dx e dy.
  • Não há valores numéricos específicos; a resposta será uma expressão em termos de x, y, dx e dy.

Passo 2

O que é a diferencial total e como ela é escrita:
  • Para uma função z=z(x,y), a diferencial total dz é a melhor aproximação linear da variação de z quando x varia em dx e y varia em dy.
  • A fórmula geral da diferencial total é
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.
Aqui:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x, com y mantido constante;
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y, com x mantido constante;
  • dx e dy representam pequenos incrementos (infinitesimais) em x e y, respectivamente.
  • Então, para obter dz devemos calcular as duas derivadas parciais e colocá‑las na fórmula acima.

Passo 3

Cálculo da derivada parcial em relação a x:
  • Trate y como constante e derive z=x\ln(y^{2}+1) em relação a x.
  • Como é um produto em x de x com \ln(y^{2}+1), mas \ln(y^{2}+1) é constante quando derivamos em x. Logo
\frac{\partial z}{\partial x} = \ln\!\left(y^{2}+1\right).
  • Explicação didática: a função é z(x,y)=x\cdot A com A=\ln(y^{2}+1) constante para essa derivação; a derivada de x é 1, então sobra A.

Passo 4

Cálculo da derivada parcial em relação a y:
  • Agora trate x como constante e derive z=x\ln(y^{2}+1) em relação a y.
  • Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) em relação a y é \dfrac{1}{u}\dfrac{du}{dy}, onde u=y^{2}+1.
  • Primeiro calcule \dfrac{du}{dy}:
u = y^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dy} = 2y.
  • Então a derivada de \ln(y^{2}+1) é
\frac{d}{dy}\ln\!\left(y^{2}+1\right) = \frac{1}{y^{2}+1}\cdot 2y = \frac{2y}{y^{2}+1}.
  • Como x é constante multiplicando essa expressão, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} = x\cdot\frac{2y}{y^{2}+1} = \frac{2xy}{y^{2}+1}.
  • Explicação didática: a cadeia serve para funções compostas; aqui \ln(\cdot) é a função externa e y^{2}+1 a interna.

Passo 5

Juntando as peças para formar a diferencial total:
  • Já temos as derivadas parciais:
    • \dfrac{\partial z}{\partial x} = \ln\!\left(y^{2}+1\right),
    • \dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{2xy}{y^{2}+1}.
  • Usando a fórmula geral da diferencial total (ver Passo 2), combina‑se cada derivada parcial com o respectivo incremento dx ou dy.
  • A interpretação prática: dz é a soma da contribuição da variação de x (mantendo y fixo) e da contribuição da variação de y (mantendo x fixo), cada uma ponderada pelas derivadas parciais.

Resposta

dz = \ln\!\left(y^{2}+1\right)\,dx + \frac{2xy}{y^{2}+1}\,dy

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