Determine a diferencial da função.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a diferencial da função
Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
- A função depende de duas variáveis independentes:
e . - É preciso encontrar a diferencial total
, ou seja, a expressão que relaciona um pequeno incremento de com pequenos incrementos e . - Não há valores numéricos específicos; a resposta será uma expressão em termos de
, , e .
Passo 2
O que é a diferencial total e como ela é escrita:
- Para uma função
, a diferencial total é a melhor aproximação linear da variação de quando varia em e varia em . - A fórmula geral da diferencial total é
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a , com mantido constante; -
é a derivada parcial de em relação a , com mantido constante; -
e representam pequenos incrementos (infinitesimais) em e , respectivamente. - Então, para obter
devemos calcular as duas derivadas parciais e colocá‑las na fórmula acima.
Passo 3
Cálculo da derivada parcial em relação a
:
- Trate
como constante e derive em relação a . - Como é um produto em
de com , mas é constante quando derivamos em . Logo
- Explicação didática: a função é
com constante para essa derivação; a derivada de é , então sobra .
Passo 4
Cálculo da derivada parcial em relação a
:
- Agora trate
como constante e derive em relação a . - Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a é , onde . - Primeiro calcule
:
- Então a derivada de
é
- Como
é constante multiplicando essa expressão, obtemos
- Explicação didática: a cadeia serve para funções compostas; aqui
é a função externa e a interna.
Passo 5
Juntando as peças para formar a diferencial total:
- Já temos as derivadas parciais:
-
, -
.
-
- Usando a fórmula geral da diferencial total (ver Passo 2), combina‑se cada derivada parcial com o respectivo incremento
ou . - A interpretação prática:
é a soma da contribuição da variação de (mantendo fixo) e da contribuição da variação de (mantendo fixo), cada uma ponderada pelas derivadas parciais.