Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
\left\{\begin{array}{l} \square-2 x \leq 1 \\\ \square x-1 \leq 5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver as desigualdades e escrever a resposta em notação de intervalos. As expressões dadas são (peguei literalmente do enunciado):
  • \square - 2x \le 1
  • \square x - 1 \le 5
Aqui o símbolo \square aparece como um espaço em branco (não foi fornecido um número). Assim, antes de calcular, fica claro que falta um valor em cada desigualdade. Vou tratar cada \square como um parâmetro desconhecido (um número arbitrário) e resolver as desigualdades em função desses parâmetros.

Passo 2

Convenção: chamo o valor do primeiro quadrado de \alpha e o do segundo de \beta. Ou seja,
  • primeira desigualdade: \alpha - 2x \le 1,
  • segunda desigualdade: \beta x - 1 \le 5.
Vou resolver cada uma em termos de \alpha e \beta. Antes de começar, rápido lembrete didático sobre como resolver desigualdades lineares:
  • Isolar x consiste em usar operações algébricas (somar/subtrair, multiplicar/dividir).
  • Ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, a direção da desigualdade troca (por exemplo, a \le b e multiplicar por -1 -a \ge -b).
  • Notação de intervalos: [a,b] inclui a e b; (a,b) exclui; (-\infty,b] e [a,\infty) são intervalos semi-infinito.

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade passo a passo ( \alpha - 2x \le 1).
  1. Escrevo a desigualdade:
\alpha - 2x \le 1.
  1. Subtraio \alpha dos dois lados para isolar o termo que contém x:
-2x \le 1 - \alpha.
  1. Agora divido ambos os lados por -2. Como o divisor é negativo, a desigualdade inverte de sentido. Então:
x \ge \dfrac{1-\alpha}{-2}.
  1. Simplifico a fração trocando o sinal do numerador:
x \ge \dfrac{\alpha-1}{2}.
  1. Em notação de intervalos, a solução da primeira desigualdade é
\left[\dfrac{\alpha-1}{2},\, +\infty\right).
(Comentário didático: note que essa solução existe para qualquer \alpha real; a posição do ponto no eixo real depende do valor numérico de \alpha.)

Passo 4

Resolver a segunda desigualdade passo a passo ( \beta x - 1 \le 5).
  1. Escrevo a desigualdade:
\beta x - 1 \le 5.
  1. Somo 1 aos dois lados:
\beta x \le 6.
  1. Agora preciso dividir por \beta para isolar x, mas devo dividir considerando o sinal de \beta. Temos três casos:
  • Caso \beta > 0: ao dividir por \beta (positivo) a desigualdade mantém o sentido:
x \le \dfrac{6}{\beta},
logo a solução é
\left(-\infty,\,\dfrac{6}{\beta}\right].
  • Caso \beta = 0: a desigualdade fica 0\cdot x \le 6, isto é 0 \le 6, que é verdadeira para todo x. Portanto a solução é
(-\infty,\,\infty)\\ (\text{todos os reais}).
  • Caso \beta < 0: ao dividir por \beta (negativo) a desigualdade inverte o sentido:
x \ge \dfrac{6}{\beta},
logo a solução é
\left[\dfrac{6}{\beta},\, +\infty\right).
(Comentário didático: note que quando \beta<0, o número \dfrac{6}{\beta} é negativo; a desigualdade final é coerente com a inversão do sinal.)

Passo 5

Pequenos exemplos numéricos para fixar a ideia:
  • Se \alpha=3, a primeira solução é \left[\dfrac{3-1}{2},\infty\right)=[1,\infty).
  • Se \beta=2, a segunda solução é (-\infty,\dfrac{6}{2}]=(-\infty,3].
  • Se \beta=0, a segunda solução é todo \mathbb{R}.
  • Se \beta=-3, a segunda solução é [\dfrac{6}{-3},\infty)=[-2,\infty).
Vai dar certo na prova — respira fundo e treina alguns casos numéricos semelhantes.

Resposta

[\left[\dfrac{\alpha-1}{2},+\infty\right))
( \begin{cases} (-\infty,\dfrac{6}{\beta}] & \text{se }\beta>0,\\[4pt] (-\infty,\infty) & \text{se }\beta=0,\\[4pt] \left[\dfrac{6}{\beta},+\infty\right) & \text{se }\beta<0. \end{cases}]]

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