Determine a diferencial das funções abaixo.
d) 
 .
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar a diferencial da função 
 . Isso faz parte do estudo de diferenciais em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis 
 , 
  e 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a diferencial. A diferencial de uma função 
  de várias variáveis, como 
 , é uma aproximação linear de como a função muda quando as variáveis 
 , 
  e 
  mudam um pouquinho. Matematicamente, é dada por:
Ou seja, a diferencial é a soma das derivadas parciais multiplicadas pelas variações correspondentes de cada variável.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 , denotada por 
 . Isso significa que tratamos 
  e 
  como constantes e derivamos em relação a 
 :
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte:
Então, juntando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 , 
 . Aqui, tratamos 
  e 
  como constantes:
Primeira parte com a regra da cadeia:
Segunda parte:
Então:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 , 
 . Aqui, 
  e 
  são constantes:
A segunda parte é fácil, porque 
  não depende de 
 :
Para a primeira parte:
Então:
Resposta
Juntando tudo, a diferencial da função é: