Indique as regiões de 
  onde 
  é diferenciável.
d) 
 
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para indicar as regiões no plano 
  onde a função 
  é diferenciável. Para isso, vamos precisar entender sobre funções diferenciáveis e as condições necessárias para uma função como essa ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber onde a função 
  está definida. A função logaritmo natural 
  só existe quando o argumento 
  é positivo, ou seja, 
 . Então, para 
  existir, o produto 
  deve ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos pensar nas regiões do plano onde 
 . Isso acontece em dois casos:
- Ambos x e y são positivos: Se 
e , então .  - Ambos x e y são negativos: Se 
e , então também.  
Essas duas situações definem duas regiões no plano 
  onde a função está bem comportada.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar a diferenciabilidade da função nessas regiões. A função 
  é composta pela função logaritmo e pela função produto. Sabemos que a função 
  é diferenciável para 
  e que o produto de funções diferenciáveis também é diferenciável. Portanto, onde 
 , a função 
  será diferenciável.
Passo 5
Então, juntando tudo, concluímos que a função 
  é diferenciável nas regiões onde 
 , ou seja:
- Quando 
e  - Quando 
e  
Resposta
A função 
  é diferenciável nas regiões do plano 
  onde 
 , isto é:
- Para 
e  - Para 
e