Determine o diferencial total da função
b)
b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o diferencial total da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
, e então usar essas derivadas para encontrar o diferencial total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, mede como
muda quando apenas
varia, mantendo
constante. Da mesma forma,
mede a mudança de
quando apenas
varia.
Passo 3
Vamos calcular
. A função tem duas partes. A primeira parte é
. Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
. Então, a derivada dessa parte é
.
A segunda parte é . A derivada em relação a
é
porque
é tratado como uma constante.
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Novamente, a função tem duas partes.
Para a primeira parte
, a derivada parcial em relação a
é
.
Para a segunda parte , a derivada em relação a
é simplesmente , já que é constante em relação a
.
Então, .
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora escrever o diferencial total de
. A fórmula para o diferencial total
é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
O diferencial total da função é: