Determine o diferencial total da função
b) z = 3 ln(x y) + y sen(x)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o diferencial total da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre diferenciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e então usar essas derivadas para encontrar o diferencial total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a , denotada por , mede como muda quando apenas varia, mantendo constante. Da mesma forma, mede a mudança de quando apenas varia.

Passo 3

Vamos calcular . A função tem duas partes. A primeira parte é . Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é . Então, a derivada dessa parte é .
A segunda parte é . A derivada em relação a é porque é tratado como uma constante.
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular . Novamente, a função tem duas partes.
Para a primeira parte , a derivada parcial em relação a é .
Para a segunda parte , a derivada em relação a é simplesmente , já que é constante em relação a .
Então, .

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora escrever o diferencial total de . A fórmula para o diferencial total é:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

O diferencial total da função é:

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