Determine y' em cada um dos itens. y = (cos(3x))^(5/x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de . Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem potências e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica, que é super útil quando temos funções complicadas elevadas a potências que também dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada de com relação a é , e vamos aplicar a regra do produto no lado direito:

Passo 5

Calculando cada derivada individualmente:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A derivada de envolve a regra da cadeia:
    • Derivada de é .
    • Aqui, , então .
Então:

Passo 6

Substituindo as derivadas encontradas de volta na equação:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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