Determine as dimensões do retângulo que tem 15 cm de perímetro e 14 \mathrm{~cm}^{2} de área.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de um retângulo cujo perímetro é 15 cm e a área é 14 cm ^2. O conteúdo envolve montar um sistema usando as fórmulas do perímetro
P = 2\,(l + w)
e da área
A = l \cdot w
e resolver esse sistema.

Passo 2

Da fórmula do perímetro temos
2\,(l + w) = 15
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l + w = 7{,}5
e portanto
w = 7{,}5 - l.

Passo 3

Substituindo w na equação da área l\cdot w = 14, obtemos
l \, (7{,}5 - l) = 14
que se expande para
7{,}5\,l - l^2 = 14
e reorganizando em forma padrão fica
l^2 - 7{,}5\,l + 14 = 0.

Passo 4

Calculamos o discriminante da quadrática
\Delta = (7{,}5)^2 - 4\cdot 1\cdot 14 = 56{,}25 - 56 = 0{,}25.
As raízes são
l = \frac{7{,}5 \pm \sqrt{0{,}25}}{2} = \frac{7{,}5 \pm 0{,}5}{2}
portanto
l_1 = \frac{7{,}5 + 0{,}5}{2} = 4, \quad l_2 = \frac{7{,}5 - 0{,}5}{2} = 3{,}5.

Passo 5

Para cada valor de l calculamos w = 7{,}5 - l:
  • Se l = 4, então w = 3{,}5.
  • Se l = 3{,}5, então w = 4.

Resposta

As dimensões do retângulo são 4 cm e 3{,}5 cm.

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