Uma bola de boliche de massa M e raio R é lançada rente ao chão, (bem próximo, com altura desprezível) com velocidade linear \mathrm{V}_{1}. Ao tocar o chão a bola começa a se mover com rotação automaticamente. Supondo que isso ocorra, qual será a nova velocidade \left(\mathrm{V}_{2}\right) do centro de massa, logo após o corpo começar a girar supondo que: I=M R^{2} / 5 em relação ao centro de massa. Determine \mathrm{V}_{2} em função de \mathrm{V}_{1}. (Resolva por conservação da quantidade de movimento)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo tirado do enunciado):
  • Uma bola de boliche de massa M e raio R é lançada rente ao chão com velocidade do centro de massa inicial \mathrm{V}_{1}.
  • Ao tocar o chão, devido à força de atrito, a bola começa a girar. Ao final desse processo de entrada em rolamento, o centro de massa passa a ter velocidade \mathrm{V}_{2}.
  • O momento de inércia em relação ao centro de massa é I=\dfrac{M R^{2}}{5}.
  • O enunciado pede: determinar \mathrm{V}_{2} em função de \mathrm{V}_{1}, usando conservação da quantidade de movimento (explicarei a que conservação me refiro e por quê).

Passo 2

Entendendo quais quantidades físicas podem ou não se conservar aqui (explicação didática e por que escolhemos a conservação que vamos usar).
  • A força de atrito entre bola e chão é horizontal e externa ao sistema “bola”. Portanto a quantidade de movimento linear (momento linear) da bola ao longo da direção do movimento não é necessariamente conservada: o chão pode trocar impulso horizontal com a bola.
  • Entretanto, se escolhermos o ponto de contato com o chão como ponto de referência para calcular momentos (momento angular), a força de atrito passa por esse ponto e, portanto, tem braço de alavanca nulo em relação a esse ponto. Logo, o impulso de atrito não cria torque em torno do ponto de contato. Assim, o momento angular da bola em relação ao ponto de contato é conservado durante o breve impulso que faz a bola passar de deslizar sem giro até rolar sem deslizar.
  • Conclusão: vamos aplicar a conservação do momento angular em relação ao ponto de contato com o chão. É essa “conservação da quantidade de movimento” indicada no enunciado (a explicação acima justifica por que essa quantidade se conserva enquanto a linear não).

Passo 3

Calcular o momento angular inicial da bola em relação ao ponto de contato (antes de girar).
  • Antes de girar a bola tem apenas movimento de translação com velocidade do centro de massa \mathrm{V}_{1} e não tem rotação ( \omega_{\rm inicial}=0).
  • O momento angular do movimento de translação de um corpo de massa M em relação a um ponto fixo é dado por L_{\text{trans}} = M\,\vec{r}_{\rm cm}\times\vec{v}_{\rm cm}. Aqui o vetor posição do centro de massa relativo ao ponto de contato tem magnitude r=R e o ângulo entre \vec{r} e \vec{v} é de 90^\circ, então o módulo é M R \mathrm{V}_{1}.
  • Portanto o momento angular inicial em torno do ponto de contato é
L_{\rm i} = M R \mathrm{V}_{1}.

Passo 4

Calcular o momento angular final da bola em relação ao mesmo ponto (quando já estiver rolando sem deslizar).
  • No estado final há duas contribuições ao momento angular em relação ao ponto de contato:
    1. Momento angular da translação do centro de massa: L_{\text{trans,f}} = M R \mathrm{V}_{2} (mesma fórmula, agora com \mathrm{V}_{2}).
    2. Momento angular da rotação em torno do centro de massa: L_{\text{rot,f}} = I\,\omega, onde I é o momento de inércia dado e \omega é a velocidade angular final.
  • Assim o momento angular total final é
L_{\rm f} = M R \mathrm{V}_{2} + I\,\omega.

Passo 5

Relacionar \omega com \mathrm{V}_{2} usando a condição de rolamento sem deslizamento e escrever a equação de conservação do momento angular.
  • A condição de rolamento sem deslizamento impõe que a velocidade de deslizamento na superfície de contato seja zero, o que dá a relação
\omega = \dfrac{\mathrm{V}_{2}}{R}.
  • Pela conservação do momento angular em relação ao ponto de contato temos
L_{\rm i} = L_{\rm f},
ou seja
M R \mathrm{V}_{1} = M R \mathrm{V}_{2} + I\,\omega.
  • Substituindo \omega=\dfrac{\mathrm{V}_{2}}{R} obtemos
M R \mathrm{V}_{1} = M R \mathrm{V}_{2} + I\left(\dfrac{\mathrm{V}_{2}}{R}\right).

Passo 6

Isolar \mathrm{V}_{2} na equação e inserir I=\dfrac{M R^{2}}{5}.
  • Dividindo a equação por R para simplificar:
M \mathrm{V}_{1} = M \mathrm{V}_{2} + I\left(\dfrac{\mathrm{V}_{2}}{R^{2}}\right).
  • Substituindo I=\dfrac{M R^{2}}{5}
M \mathrm{V}_{1} = M \mathrm{V}_{2} + \left(\dfrac{M R^{2}}{5}\right)\left(\dfrac{\mathrm{V}_{2}}{R^{2}}\right).
  • Simplificando o fator com R^{2}:
M \mathrm{V}_{1} = M \mathrm{V}_{2} + \dfrac{M}{5}\,\mathrm{V}_{2}.
  • Agrupando termos em \mathrm{V}_{2}:
M \mathrm{V}_{1} = \mathrm{V}_{2}\left(M + \dfrac{M}{5}\right) = \mathrm{V}_{2}\left(\dfrac{6M}{5}\right).
  • Finalmente isolando \mathrm{V}_{2}:
\mathrm{V}_{2} = \dfrac{M \mathrm{V}_{1}}{\tfrac{6M}{5}} = \mathrm{V}_{1}\cdot\dfrac{5}{6}.

Passo 7

Interpretação final rápida e checagem (didática, para você entender e poder usar em prova).
  • Resultado simples: a velocidade do centro de massa diminui por causa da transferência de energia cinética de translação para rotação; aqui a fração é \dfrac{5}{6} do valor inicial.
  • Nota prática para a prova: sempre que aparecer esse tipo de problema (objeto deslizando e entrando em rolamento) pense em conservar o momento angular em torno do ponto de contato — é um truque que evita ter que lidar com o impulso de atrito direto.

Resposta

\mathrm{V}_{2}=\dfrac{5}{6}\,\mathrm{V}_{1}

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