Uma bola de boliche de massa M e raio R é lançada rente ao chão, (bem próximo, com altura desprezível) com velocidade linear
. Ao tocar o chão a bola começa a se mover com rotação automaticamente. Supondo que isso ocorra, qual será a nova velocidade
do centro de massa, logo após o corpo começar a girar supondo que:
em relação ao centro de massa. Determine
em função de
. (Resolva por conservação da quantidade de movimento)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo tirado do enunciado):
- Uma bola de boliche de massa
e raio é lançada rente ao chão com velocidade do centro de massa inicial . - Ao tocar o chão, devido à força de atrito, a bola começa a girar. Ao final desse processo de entrada em rolamento, o centro de massa passa a ter velocidade
. - O momento de inércia em relação ao centro de massa é
. - O enunciado pede: determinar
em função de , usando conservação da quantidade de movimento (explicarei a que conservação me refiro e por quê).
Passo 2
Entendendo quais quantidades físicas podem ou não se conservar aqui (explicação didática e por que escolhemos a conservação que vamos usar).
- A força de atrito entre bola e chão é horizontal e externa ao sistema “bola”. Portanto a quantidade de movimento linear (momento linear) da bola ao longo da direção do movimento não é necessariamente conservada: o chão pode trocar impulso horizontal com a bola.
- Entretanto, se escolhermos o ponto de contato com o chão como ponto de referência para calcular momentos (momento angular), a força de atrito passa por esse ponto e, portanto, tem braço de alavanca nulo em relação a esse ponto. Logo, o impulso de atrito não cria torque em torno do ponto de contato. Assim, o momento angular da bola em relação ao ponto de contato é conservado durante o breve impulso que faz a bola passar de deslizar sem giro até rolar sem deslizar.
- Conclusão: vamos aplicar a conservação do momento angular em relação ao ponto de contato com o chão. É essa “conservação da quantidade de movimento” indicada no enunciado (a explicação acima justifica por que essa quantidade se conserva enquanto a linear não).
Passo 3
Calcular o momento angular inicial da bola em relação ao ponto de contato (antes de girar).
- Antes de girar a bola tem apenas movimento de translação com velocidade do centro de massa
e não tem rotação ( ). - O momento angular do movimento de translação de um corpo de massa
em relação a um ponto fixo é dado por . Aqui o vetor posição do centro de massa relativo ao ponto de contato tem magnitude e o ângulo entre e é de , então o módulo é . - Portanto o momento angular inicial em torno do ponto de contato é
Passo 4
Calcular o momento angular final da bola em relação ao mesmo ponto (quando já estiver rolando sem deslizar).
- No estado final há duas contribuições ao momento angular em relação ao ponto de contato:
- Momento angular da translação do centro de massa:
(mesma fórmula, agora com ). - Momento angular da rotação em torno do centro de massa:
, onde é o momento de inércia dado e é a velocidade angular final.
- Momento angular da translação do centro de massa:
- Assim o momento angular total final é
Passo 5
Relacionar
com
usando a condição de rolamento sem deslizamento e escrever a equação de conservação do momento angular.
- A condição de rolamento sem deslizamento impõe que a velocidade de deslizamento na superfície de contato seja zero, o que dá a relação
- Pela conservação do momento angular em relação ao ponto de contato temos
ou seja
- Substituindo
obtemos
Passo 6
Isolar
na equação e inserir
.
- Dividindo a equação por
para simplificar:
- Substituindo
dá
- Simplificando o fator com
:
- Agrupando termos em
:
- Finalmente isolando
:
Passo 7
Interpretação final rápida e checagem (didática, para você entender e poder usar em prova).
- Resultado simples: a velocidade do centro de massa diminui por causa da transferência de energia cinética de translação para rotação; aqui a fração é
do valor inicial. - Nota prática para a prova: sempre que aparecer esse tipo de problema (objeto deslizando e entrando em rolamento) pense em conservar o momento angular em torno do ponto de contato — é um truque que evita ter que lidar com o impulso de atrito direto.