Em uma superfície plana, um corpo circular, semelhante a um disco de hockey, (A) receber um impulso X e gira (rola) sobre a superfície com atrito. (não há arrasto, somente gira). A superfície é então polida e o coeficiente de atrito agora é infinitamente inferior que o anterior. Supondo que o mesmo corpo, agora é deitado recebe novamente o mesmo impulso e não mais gira sobre a superfície, somente desliza sobre a superfície(B) responda.
Qual iria mais longe, supondo não haver resistência do ar? Explique.
O que você pode falar sobre as velocidades do centro de massa em cada um dos exemplos? E sobre as acelerações? Como elas variam no tempo?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos (tomando o enunciado ao pé da letra): um corpo circular (disco) idêntico nas duas experiências recebe o mesmo impulso X.
  • Dois cenários:
    • Cenário A: o disco “rola” sobre a superfície com atrito (superfície rugosa o suficiente para que haja rolamento). Foi dito que ele “gira (rola)”.
    • Cenário B: a superfície foi polida (coeficiente de atrito muito menor) e o mesmo disco, agora “deitado”, recebe o mesmo impulso e desliza sem girar (ou com giro desprezível).
  • Suposições implícitas que vou usar (não te perguntei nada, apenas escolhi hipóteses físicas razoáveis e vou declará‑las): discos idênticos de massa m e raio R; o impulso X é um impulso horizontal (aplica um momento linear); não há resistência do ar; a única força de atrito possível é a força de contato com a superfície (estática ou cinética) e, se for o caso, o atrito cinético é caracterizado por \mu_k.
  • O enunciado pede:
    1. Qual dos dois vai mais longe (A ou B), supondo não haver resistência do ar?
    2. O que se pode dizer sobre as velocidades do centro de massa em cada exemplo?
    3. E sobre as acelerações? Como variam no tempo?

Passo 2

Relembrando conceitos fundamentais (com linguagem simples) que vamos usar — passo a passo.
  • Impulso linear: um impulso X horizontal aplicado ao corpo muda o momento linear do centro de massa. Se o impulso total sobre o corpo é X, a variação de quantidade de movimento é
\Delta p = X \quad\Rightarrow\quad v_{\rm cm,0}=\frac{X}{m},
onde v_{\rm cm,0} é a velocidade do centro de massa logo após o impulso (assumindo o impulso age sem trocar massa). Isso vale para o componente linear do impulso; se o impulso também aplicar um torque, ele pode criar rotação além da translação.
  • Tipos de atrito:
    • Atrito estático: não há escorregamento no ponto de contato; ele gera torque/força de contato mas NÃO realiza trabalho (em situação de rolamento puro, o ponto de contato é instantaneamente em repouso e a força estática não dissipa energia).
    • Atrito cinético: aparece quando há deslizamento relativo entre o corpo e a superfície; tem magnitude aproximada f_k=\mu_k m g e faz trabalho negativo (dissipa energia), produz desaceleração constante a=-\mu_k g no centro de massa enquanto houver deslizamento.
  • Rotação: torque \tau por uma força de atrito gera aceleração angular \alpha segundo
I\alpha=\tau,
onde I é o momento de inércia do disco; para um disco sólido I=\tfrac{1}{2}mR^2. Quando há deslizamento, a força de atrito produz simultaneamente aceleração linear (decaimento da velocidade) e aceleração angular (faz o corpo girar).
  • Condição de rolamento sem escorregamento:
v_{\rm cm}=\omega R.
Enquanto houver escorregamento a essa condição não vale; quando a condição se tornar válida, o contato passa a ser sem deslizamento (atrito passa a ser estático) e o comportamento muda.

Passo 3

Analiso o caso idealizado: se o disco em A estiver já em rolamento puro logo após o impulso (isto é, v_{\rm cm,0}=\omega_0 R) e não houver nenhuma outra fonte de dissipação (sem resistência do ar e sem “resistência ao rolamento”), então a força de atrito na superfície é estática e, sendo estática sem deslocamento no ponto de contato, não realiza trabalho; assim não há perda de energia por atrito e o centro de massa mantém velocidade constante:
a=0\quad\text{e}\quad v_{\rm cm}(t)=v_{\rm cm,0}=\text{constante}.
Nesse caso ideal, o disco A percorre distância ilimitada (infinitamente longe) enquanto não houver outra força dissipativa. Portanto, em termos de “quem vai mais longe” não faz sentido comparar distâncias finitas: ambos andariam indefinidamente se ambos estiverem em movimento sem dissipação.
Observação importante: esse é um caso ideal. Na prática existe resistência ao rolamento e pequenas perdas, mas o ponto conceitual é: rolamento puro com apenas atrito estático NÃO dissipa energia.

Passo 4

Analiso o caso prático com deslizamento (situação típica da pergunta): se o disco foi impulsionado de modo que inicialmente escorrega no contato (por exemplo o impulso deu translação maior que a rotação disponível, ou o impulso foi aplicado no centro e não deu momento), então aparecerá atrito cinético até que o disco passe a rolar sem deslizar. Esse é o modelo típico que explica porque superfícies polidas deixam o objeto deslizar mais tempo.
Agora as fórmulas e o desenvolvimento passo a passo (modelo clássico):
  • Enquanto houver deslizamento, a força de atrito cinético tem magnitude f_k=\mu_k m g e atua oposta ao movimento do centro de massa. Assim a aceleração linear é constante
a_{\rm cm}=-\mu_k g.
  • O torque devido ao atrito provoca aceleração angular
I\alpha = f_k R \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{f_k R}{I}=\frac{\mu_k m g R}{I}.
  • Defina a velocidade inicial do centro de massa logo após o impulso como v_0 e a velocidade angular inicial como \omega_0. A velocidade relativa entre a superfície e o ponto de contato é v_{\rm slip}=v_{\rm cm}-\omega R. Se v_{\rm slip}>0 há deslizamento para frente; o atrito reduz v_{\rm cm} e aumenta \omega (no sentido que reduz o escorregamento).
  • O tempo t_r até o rolamento sem deslizamento (quando v_{\rm cm}(t_r)=\omega(t_r)R) pode ser obtido integrando:
v_{\rm cm}(t)=v_0-\mu_k g t,\qquad \omega(t)=\omega_0+\alpha t.
Impondo v_{\rm cm}(t_r)=\omega(t_r)R e resolvendo para t_r dá (caso frequente \omega_0=0):
t_r=\frac{v_0}{\mu_k g\left(1+\dfrac{mR^2}{I}\right)}.
  • Velocidade final quando o rolamento começa (assumindo \omega_0=0) é
v_f=v_{\rm cm}(t_r)=v_0\frac{\dfrac{mR^2}{I}}{1+\dfrac{mR^2}{I}}.
Para um disco sólido I=\tfrac{1}{2}mR^2, a razão \dfrac{mR^2}{I}=2 e portanto
v_f=\frac{2}{3}v_0.
  • Durante o intervalo de deslizamento há perda de energia (trabalho do atrito cinético). A perda é independente do valor de \mu_k no sentido de que o tempo e a distância até o rolamento dependem de \mu_k, mas a velocidade final v_f (para dado v_0 e dado I) não depende de \mu_k — só depende da geometria (via I). (Importante: o tempo e a distância até atingir v_f dependem de \mu_k, mas v_f não, se \omega_0=0.)
Interpretação física: se o disco começa a deslizar, parte da energia translacional é convertida em rotação pela ação do atrito e parte é dissipada como calor; o resultado é que a velocidade linear final quando o rolamento puro começa é menor que a velocidade inicial.

Passo 5

Comparações práticas e resposta direta para “quem vai mais longe”:
  • Caso ideal (rolamento puro desde o começo em A, e B sem atrito): se A desde o começo está em rolamento puro e B desliza sem atrito, nenhum dos dois perde energia por atrito e ambos manterão velocidade constante — então ambos vão indefinidamente (empate). Isso é a resposta estrita se realmente não houver nenhum mecanismo dissipativo além do atrito estático (que não faz trabalho).
  • Caso mais realista (o que o enunciado parece sugerir): na prática o que acontece é geralmente isto:
    • Superfície rugosa (A): ou o disco começa já em rolamento puro (nesse caso não perde energia por atrito estático) OU, mais comum, se houve escorregamento inicial a superfície fornece atrito cinético que dissipa energia, reduz v_{\rm cm} até que o disco passe a rolar; essa dissipação reduz a distância total percorrida.
    • Superfície polida (B): coeficiente de atrito muito pequeno \mu_k significa que o atrito cinético é pequeno e, durante o deslizamento, a desaceleração a\approx -\mu_k g é muito pequena — portanto o disco desliza por um longo trecho antes de parar ou antes de começar a rolar (se começar).
      Portanto, na situação prática em que em A há atrito suficiente para provocar perda de energia e em B o atrito é muito menor, B vai mais longe. Em outras palavras: superfície polida (menor atrito) → menos dissipação → maior distância percorrida.

Passo 6

Resumo das velocidades do centro de massa e das acelerações, com fórmulas e interpretação temporal:
  • Velocidade inicial do centro de massa logo após o impulso (se o impulso linear total é X):
v_{\rm cm,0}=\frac{X}{m}.
(Se o impulso também aplica torque, a velocidade angular inicial \omega_0 pode não ser zero; isso muda a partição entre energia translacional e rotacional imediatamente após o impulso.)
  • Durante deslizamento com atrito cinético \mu_k:
a_{\rm cm}(t) = -\mu_k g \quad(\text{constante}),\qquad v_{\rm cm}(t)=v_0-\mu_k g t,
até o instante t_r em que v_{\rm cm}=\omega R e o rolamento puro se instala. A aceleração angular durante o deslizamento é
\alpha(t)=\frac{\mu_k m g R}{I}\quad(\text{constante}),
e \omega(t)=\omega_0+\alpha t.
  • Depois que o rolamento sem escorregamento está estabelecido:
    • Se não houver outras perdas (resistência ao rolamento ou ar), a força de contato é estática e não realiza trabalho; portanto
a_{\rm cm}=0,\qquad v_{\rm cm}=\text{constante }=v_f.
  • Se houver resistência ao rolamento real (não incluída no enunciado), haverá uma pequena desaceleração adicional. Mas isto é efeito prático, não do atrito estático idealizado.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia): disco sólido com I=\tfrac{1}{2}mR^2, começo com v_0 e \omega_0=0. Enquanto escorrega até rolamento:
t_r=\frac{v_0}{\mu_k g(1+2)}=\frac{v_0}{3\mu_k g},\qquad v_f=\frac{2}{3}v_0.
A distância percorrida durante o deslizamento (até o rolamento) é
d=\int_0^{t_r} v_{\rm cm}(t)\,dt = v_0 t_r -\tfrac{1}{2}\mu_k g t_r^2.
Isso mostra que quanto menor \mu_k, maior t_r e maior a distância antes de atingir v_f. Se \mu_k for muito pequeno (superfície polida), o disco percorre distância muito grande.

Resposta

B, em geral, vai mais longe (superfície polida → menos atrito cinético → menos dissipação).
Se A já está em rolamento puro desde o começo e não há nenhuma resistência ao rolamento nem ao ar, então ambos manteriam velocidade constante e ambos iriam indefinidamente (empate idealizado).
Velocidades do centro de massa: imediatamente após o impulso v_{\rm cm,0}=X/m (se o impulso linear for X); durante deslizamento com atrito cinético v_{\rm cm}(t)=v_0-\mu_k g t até o rolamento puro; após estabelecer o rolamento puro v_{\rm cm} é constante (na ausência de outras perdas).
Acelerações: enquanto escorrega a_{\rm cm}=-\mu_k g (constante); aceleração angular enquanto escorrega \alpha=\dfrac{\mu_k m g R}{I} (constante); quando o rolamento puro inicia, a_{\rm cm}=0 (se não houver resistência ao rolamento).

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