Determine a distância entre:
\pi_{1}: x+y+z+1=0 e \pi_{2}:-x-y-z+7=0

Passo 1

O enunciado dá duas retas (planos no espaço) cujas equações são:
\pi_{1}: x+y+z+1=0
\pi_{2}:-x-y-z+7=0
A pergunta é: qual é a distância entre \pi_{1} e \pi_{2}?

Passo 2

Vamos extrair os vetores normais às superfícies (os coeficientes das variáveis nas equações). Para a primeira equação o vetor normal é
\mathbf{n}_1 = (1,1,1)
porque os coeficientes de x,y,z são 1,1,1. Para a segunda equação o vetor normal é
\mathbf{n}_2 = (-1,-1,-1)
porque os coeficientes de x,y,z são -1,-1,-1. Note que \mathbf{n}_2 = -1\cdot \mathbf{n}_1, ou seja, os vetores normais são paralelos (uma é múltiplo escalar da outra). Quando os vetores normais são paralelos, as duas superfícies são planos paralelos e existe uma distância mínima bem definida entre eles (a mesma para qualquer ponto de um plano ao outro).

Passo 3

Vou apresentar uma fórmula prática e explicá-la passo a passo. Para dois planos paralelos dados por
ax+by+cz+d_1=0
e
ax+by+cz+d_2=0
a distância entre eles é
\text{dist}=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Por que essa fórmula funciona? Uma explicação simples: escolha qualquer ponto P=(x_0,y_0,z_0) de um dos planos; a distância do ponto P ao outro plano ax+by+cz+d=0 é dada por
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Essa expressão é a projeção do vetor que liga os planos na direção normal ao plano, normalizada pelo comprimento do vetor normal (a,b,c). Se aplicarmos isso a um ponto de um plano em relação ao outro, obtemos a fórmula anterior para |d_1-d_2|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}.

Passo 4

Antes de aplicar a fórmula, deixe as duas equações com o mesmo vetor normal (a,b,c). A segunda equação pode ser multiplicada por -1 para ficar com os mesmos sinais dos coeficientes:
\pi_{2}:-x-y-z+7=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y+z-7=0.
Agora ambas têm a=1, b=1, c=1. Para a primeira equação temos d_1=1 (porque x+y+z+1=0 tem d_1=1) e para a segunda reescrita temos d_2=-7 (porque x+y+z-7=0 tem d_2=-7).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula:
\text{dist}=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{|1-(-7)|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{|8|}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}.
Se preferir racionalizar o denominador:
\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Só para conferir com outro raciocínio: escolho um ponto qualquer em \pi_{1}. Por exemplo, tomando y=0, z=0 na equação x+y+z+1=0 obtemos x=-1, logo um ponto é P=(-1,0,0). A distância de P ao plano \pi_{2} escrito como x+y+z-7=0 é
\frac{|(-1)+0+0-7|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{8}{\sqrt{3}},
confirmando o resultado acima.

Resposta

\dfrac{8\sqrt{3}}{3}

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