Determine a distância entre:
e
Passo 1
O enunciado dá duas retas (planos no espaço) cujas equações são:
A pergunta é: qual é a distância entre
e
?
Passo 2
Vamos extrair os vetores normais às superfícies (os coeficientes das variáveis nas equações). Para a primeira equação o vetor normal é
porque os coeficientes de
são
. Para a segunda equação o vetor normal é
porque os coeficientes de
são
. Note que
, ou seja, os vetores normais são paralelos (uma é múltiplo escalar da outra). Quando os vetores normais são paralelos, as duas superfícies são planos paralelos e existe uma distância mínima bem definida entre eles (a mesma para qualquer ponto de um plano ao outro).
Passo 3
Vou apresentar uma fórmula prática e explicá-la passo a passo. Para dois planos paralelos dados por
e
a distância entre eles é
Por que essa fórmula funciona? Uma explicação simples: escolha qualquer ponto
de um dos planos; a distância do ponto
ao outro plano
é dada por
Essa expressão é a projeção do vetor que liga os planos na direção normal ao plano, normalizada pelo comprimento do vetor normal
. Se aplicarmos isso a um ponto de um plano em relação ao outro, obtemos a fórmula anterior para
.
Passo 4
Antes de aplicar a fórmula, deixe as duas equações com o mesmo vetor normal
. A segunda equação pode ser multiplicada por
para ficar com os mesmos sinais dos coeficientes:
Agora ambas têm
,
,
. Para a primeira equação temos
(porque
tem
) e para a segunda reescrita temos
(porque
tem
).
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula:
Se preferir racionalizar o denominador:
Passo 6
Só para conferir com outro raciocínio: escolho um ponto qualquer em
. Por exemplo, tomando
,
na equação
obtemos
, logo um ponto é
. A distância de
ao plano
escrito como
é
confirmando o resultado acima.