Determine a distância entre:
r: X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(1,1,1)+t(1,-2,-3), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o problema pede: determinar a distância entre as retas
r: X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1),\\ \lambda\in\mathbb{R} e
s: X=(1,1,1)+t(1,-2,-3),\\ t\in\mathbb{R}.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
P=(1,2,3) é um ponto em r.
\mathbf{u}=(1,1,1) é o vetor diretor de r.
Q=(1,1,1) é um ponto em s.
\mathbf{v}=(1,-2,-3) é o vetor diretor de s.

Passo 2

Verificar rapidamente se as retas são paralelas ou se se cruzam (para escolher a fórmula correta).
Igualando P+\lambda\mathbf{u}=Q+t\mathbf{v}\) obtemos o sistema \[\begin{cases} 1+\lambda = 1+t,\\[4pt] 2+\lambda = 1-2t,\\[4pt] 3+\lambda = 1-3t. \end{cases}
Da primeira equação \lambda=t\]. Substituindo na segunda obtemos \(2+t=1-2t\Rightarrow 3t=-1\Rightarrow t=-\tfrac{1}{3}. Com t=-\tfrac{1}{3} a terceira dá 3-\tfrac{1}{3}= \tfrac{8}{3} no lado esquerdo e 1-3(-\tfrac{1}{3})=2 no direito, que são diferentes. Logo as equações são incompatíveis: as retas não se intersectam. Também \mathbf{u} não é múltiplo escalar de \mathbf{v}, então não são paralelas. Conclusão: as retas são reversas (skew), o que justifica usar a fórmula da distância entre retas não paralelas.]

Passo 3

Fórmula e ideia geométrica: seja \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}. Esse vetor \mathbf{n} é perpendicular a ambas as direções \mathbf{u} e \mathbf{v}. A distância entre as retas é o comprimento da projeção do vetor de conexão \overrightarrow{PQ}=Q-P sobre o versor (vetor unitário) na direção de \mathbf{n}. Assim a fórmula é
d=\frac{\left|\,(Q-P)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\,\right|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}.
Explicando os termos: (Q-P) é o vetor que vai de P a Q; \cdot é produto escalar (projeção multiplicada pelo módulo); \times é produto vetorial (gera vetor perpendicular); \|\cdot\| é norma (comprimento).

Passo 4

Calcular \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Usamos a expansão pelo determinante:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix}.
Calculando coordenada a coordenada:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \big(1\cdot(-3)-1\cdot(-2),\\\ -\big(1\cdot(-3)-1\cdot1\big),\\\ 1\cdot(-2)-1\cdot1\big).
Fazendo as contas internas:
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(-3+2,\\\ -(-3-1),\\\ -2-1)=(-1,4,-3).

Passo 5

Calcular Q-P e o produto escalar com \mathbf{u}\times\mathbf{v}.
Q-P=(1,1,1)-(1,2,3)=(0,-1,-2).
Agora o produto escalar:
(Q-P)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(0,-1,-2)\cdot(-1,4,-3).
Calculando coordenada a coordenada:
0\cdot(-1)+(-1)\cdot4+(-2)\cdot(-3)=0-4+6=2.
Tomamos o valor absoluto: |2|=2.

Passo 6

Calcular a norma de \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-3)^2}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da distância:
d=\frac{2}{\sqrt{26}}.
Racionalizando o denominador (opcional, para forma mais “limpa”):
\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{2\sqrt{26}}{26}=\frac{\sqrt{26}}{13}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{26}}{13}

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