Determine a distância entre: r: X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(1,1,1)+t(1,-2,-3), t \in \mathbb{R}
Passo 1
O que o problema pede: determinar a distância entre as retas r: X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1),\\ \lambda\in\mathbb{R} e s: X=(1,1,1)+t(1,-2,-3),\\ t\in\mathbb{R}.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado): P=(1,2,3) é um ponto em r. \mathbf{u}=(1,1,1) é o vetor diretor de r. Q=(1,1,1) é um ponto em s. \mathbf{v}=(1,-2,-3) é o vetor diretor de s.
Passo 2
Verificar rapidamente se as retas são paralelas ou se se cruzam (para escolher a fórmula correta).
Igualando P+\lambda\mathbf{u}=Q+t\mathbf{v}\) obtemos o sistema
\[\begin{cases} 1+\lambda = 1+t,\\[4pt] 2+\lambda = 1-2t,\\[4pt] 3+\lambda = 1-3t. \end{cases}
Da primeira equação \lambda=t\]. Substituindo na segunda obtemos \(2+t=1-2t\Rightarrow 3t=-1\Rightarrow t=-\tfrac{1}{3}. Com t=-\tfrac{1}{3} a terceira dá 3-\tfrac{1}{3}= \tfrac{8}{3} no lado esquerdo e 1-3(-\tfrac{1}{3})=2 no direito, que são diferentes. Logo as equações são incompatíveis: as retas não se intersectam. Também \mathbf{u} não é múltiplo escalar de \mathbf{v}, então não são paralelas. Conclusão: as retas são reversas (skew), o que justifica usar a fórmula da distância entre retas não paralelas.]
Passo 3
Fórmula e ideia geométrica: seja \mathbf{n}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}. Esse vetor \mathbf{n} é perpendicular a ambas as direções \mathbf{u} e \mathbf{v}. A distância entre as retas é o comprimento da projeção do vetor de conexão \overrightarrow{PQ}=Q-P sobre o versor (vetor unitário) na direção de \mathbf{n}. Assim a fórmula é
Explicando os termos: (Q-P) é o vetor que vai de P a Q; \cdot é produto escalar (projeção multiplicada pelo módulo); \times é produto vetorial (gera vetor perpendicular); \|\cdot\| é norma (comprimento).
Passo 4
Calcular \mathbf{u}\times\mathbf{v}. Usamos a expansão pelo determinante: