Determine a distância entre o ponto Q=(3,2) e a reta r que passa pelo ponto P=(-2,0) e possui vetor diretor v=(2,-5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto e a reta que passa pelo ponto e tem o vetor diretor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a uma reta usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a reta r(t) = P + tv pode ser representada parametricamente como:
onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.

Passo 3

A fórmula para a distância D = |v times PQ||v| de um ponto a uma reta definida pelo ponto e vetor diretor é:
onde é o vetor que vai de até , e representa o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular PQ = Q - P = (3 - (-2),, 2 - 0) = (5, 2) :

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial v times PQ = (2)(2) - (-5)(5) = 4 + 25 = 29 :
O módulo desse produto vetorial é .

Passo 6

Em seguida, calculamos o módulo do vetor diretor |v| = raiz2^2 + (-5)^2 = raiz4 + 25 = raiz29 :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da distância:
D = 29raiz29 = raiz29
Simplificando, a distância é .

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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