I - Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 28 e 36 respectivamente, então
é diagonalizável.
II - Se
é o polinômio característico de uma matriz real e
, então
.
(A) Todas são falsas,
(B) Todas são verdadeiras,
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
II - Se
(A) Todas são falsas,
(B) Todas são verdadeiras,
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! Temos duas afirmações sobre matrizes e autovalores. A matéria envolve diagonalização de matrizes e polinômios característicos. Para resolver, vamos precisar entender o que são autovalores, multiplicidade geométrica e como os polinômios característicos se comportam com números complexos.
Passo 2
Afirmação I: Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 28 e 36 respectivamente, então
é diagonalizável.
Explicação: Uma matriz é diagonalizável se a soma das multiplicidades geométricas dos seus autovalores for igual à dimensão do espaço. Aqui, temos multiplicidades geométricas de 28 e 36, totalizando
, que é exatamente a dimensão de
. Além disso, os autovalores são distintos e reais, o que também contribui para a diagonalização.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se
é o polinômio característico de uma matriz real e
, então
.
Explicação: Para matrizes reais, os autovalores complexos sempre vêm em pares conjugados. Isso significa que se
é uma raiz do polinômio característico, seu conjugado
também deve ser uma raiz.
Conclusão: A afirmação II é verdadeira.
Resposta
A opção correta é a (B) Todas são verdadeiras.