Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(h)
$(5,5);

Passo 1

O enunciado pede determinar dois pares de coordenadas polares (r,\theta), com r de sinais opostos, para o ponto que em coordenadas cartesianas é (5,5). Vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
ajustando \theta ao quadrante correto.

Passo 2

Calculamos primeiro o módulo r:
r = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.
Como \tan\theta = 5/5 = 1 e o ponto (5,5) está no primeiro quadrante, temos
\theta = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Um par polar com r>0 é
\bigl(5\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Para obter r<0, basta trocar o sinal de r e adicionar \pi a \theta, ou seja,
\bigl(-5\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4} + \pi\bigr)
que pode ser também escrito como \bigl(-5\sqrt{2},\,5\pi/4\bigr).

Resposta

(5\sqrt{2},\,\tfrac{\pi}{4})
(-5\sqrt{2},\,5\pi/4)

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