Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(g)
$(-3,-3);

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(-3,-3) em coordenadas cartesianas e pede duas representações em coordenadas polares com r de sinais opostos. Vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2 + y^2},
\theta = \arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
com correção de quadrante, e o fato de que
(r,\theta)\sim(-r,\theta+\pi).

Passo 2

Calculamos o módulo
r = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.
O ângulo de referência é
\alpha = \arctan\bigl|\tfrac{-3}{-3}\bigr| = \arctan(1) = \tfrac{\pi}{4}.
Como x<0 e y<0, P está no terceiro quadrante, logo
\theta = \pi + \alpha = \pi + \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{5\pi}{4}.

Passo 3

Uma primeira representação polar com r>0 é
\bigl(r,\theta\bigr) = \bigl(3\sqrt{2},\,5\pi/4\bigr).

Passo 4

Para ter r<0, usamos
(-r,\theta+\pi) =\bigl(-3\sqrt{2},\,5\pi/4+\pi\bigr) =\bigl(-3\sqrt{2},\,9\pi/4\bigr).
Reduzindo o ângulo ao intervalo [0,2\pi), 9\pi/4-2\pi=\pi/4. Assim, outra forma equivalente é
\bigl(-3\sqrt{2},\,\pi/4\bigr).

Resposta

(3\sqrt{2},\,5\pi/4)
(-3\sqrt{2},\,\pi/4)

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