Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(i)
$(0,-2);

Passo 1

O enunciado pede para o ponto cartesiano (0,-2) dois pares de coordenadas polares (r,\theta) em que um tenha r>0 e o outro r<0. O conteúdo aqui é conversão de coordenadas cartesianas para polares, em que
r = \sqrt{x^2 + y^2},
e \theta é o ângulo que o raio faz com o eixo x, ajustado ao quadrante.

Passo 2

Calcular o módulo r do ponto (0,-2):
r = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2.

Passo 3

Identificar o ângulo \theta. Como x=0 e y<0, o ponto está sobre o semi-eixo negativo de y. Dois valores equivalentes de \theta são
\theta = -\frac{\pi}{2} \quad\text{ou}\quad \theta = \frac{3\pi}{2}.
Para escolher um par com r>0, podemos usar
(r,\theta) = \bigl(2,\,-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Para obter um par com r<0, basta trocar o sinal de r e somar \pi ao ângulo, porque
(-r,\;\theta+\pi)
aponta para o mesmo ponto. Partindo de \bigl(2,\,-\tfrac{\pi}{2}\bigr), temos
r' = -2, \quad \theta' = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}.
Logo um segundo par é
(r',\theta') = \bigl(-2,\;\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

Os dois pares de coordenadas polares para (0,-2) com r de sinais opostos são:
(2,\,-\tfrac{\pi}{2}) \quad\text{e}\quad (-2,\;\tfrac{\pi}{2}).

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