Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(j)
$(-\sqrt{3}, 1);

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas cartesianas (-\sqrt{3},1) em dois pares de coordenadas polares (r,\theta), de modo que os dois valores de r tenham sinais opostos. Para isso, vamos usar as fórmulas
r = \sqrt{x^2+y^2},
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)
com o ajuste de \theta de acordo com o quadrante.

Passo 2

Calculando r:
r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.

Passo 3

Encontramos o ângulo de referência \alpha pela razão absoluta:
\alpha = \arctan\!\Bigl(\frac{|1|}{|\sqrt{3}|}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \frac{\pi}{6}.
Como x<0 e y>0, o ponto está no segundo quadrante, logo
\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.

Passo 4

Um par de coordenadas polares com r>0 é
(r,\theta) = \Bigl(2,\frac{5\pi}{6}\Bigr).

Passo 5

Para obter outro par com r<0, basta tomar
r' = -2
e ajustar \theta somando ou subtraindo \pi. Por exemplo,
\theta' = \frac{5\pi}{6} - \pi = -\frac{\pi}{6}.
Verifique-se que esse par gera as mesmas coordenadas cartesianas.

Resposta

\displaystyle \Bigl(2,\frac{5\pi}{6}\Bigr)
\displaystyle \Bigl(-2,-\frac{\pi}{6}\Bigr)

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