Determine dois pares de coordenadas polares, com r de sinais opostos, para os pontos com as seguintes coordenadas cartesianas:
(n)
$(1,2).

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas cartesianas (1,2) em coordenadas polares, produzindo dois pares (r,\theta) cujos valores de r sejam opostos. Para isso lembramos que, em coordenadas polares,
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
quando x>0, e que trocar o sinal de r corresponde a somar \pi ao ângulo:
(r,\theta) \;\longleftrightarrow\; (-r,\theta+\pi).

Passo 2

Calculamos primeiro o módulo r e o ângulo principal \theta:
r = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}, \qquad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{2}{1}\bigr) = \arctan(2).
Como x=1>0 e y=2>0, estamos no primeiro quadrante e \arctan(2) é a escolha correta para \theta.

Passo 3

Formamos o segundo par de coordenadas polares invertendo o sinal de r e somando \pi a \theta:
r' = -\sqrt{5}, \qquad \theta' = \arctan(2) + \pi.

Resposta

\bigl(\sqrt{5},\,\arctan(2)\bigr)
\bigl(-\sqrt{5},\,\arctan(2)+\pi\bigr)

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