Explique por que cada uma das seguintes expressões faz sentido
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que a expressão
faz sentido. As informações dadas (ou implícitas) são:
-
é um escalar (um número real). -
e são vetores no mesmo espaço (mesma dimensão). - A operação indicada é: primeiro multiplicar o vetor
pelo escalar , obtendo , e depois fazer o produto escalar desse resultado com .
Passo 2
O que significa multiplicar um vetor por um escalar? Seja
. A definição de multiplicação por escalar é
Ou seja, multiplicar um vetor por um escalar produz outro vetor na mesma
. Como
é um vetor da mesma dimensão de
, a operação de produto escalar entre eles está bem definida. Exemplo numérico rápido: se
e
então
, que é um vetor.
Passo 3
Vamos lembrar a definição do produto escalar em coordenadas. Se
e
, então
O produto escalar multiplica componente a componente e soma os resultados. Exemplo:
.
Passo 4
Agora aplicamos a definição ao caso
. Escrevendo
e
, temos
logo
Pelo fato de que multiplicação em
é comutativa e distributiva, podemos fatorar
para fora da soma:
Portanto
Isto mostra tanto que a expressão faz sentido (porque
é um vetor compatível com
) quanto que o escalar pode ser “puxado para fora” do produto escalar.
Passo 5
Interpretação geométrica (intuitiva) para reforçar: o produto escalar também pode ser escrito como
onde
é o ângulo entre
e
. Ao multiplicar
por
tem-se
. Se
o ângulo entre
e
é o mesmo
; se
o vetor inverte de direção e a cosseno muda de sinal, de forma que o fator
aparece no resultado final. Assim, geometricamente também se obtém
Passo 6
Resumo e comentário prático para a prova: a expressão
faz sentido porque
é um vetor na mesma
que
, e o produto escalar é definido entre dois vetores dessa mesma dimensão. Além disso vale a propriedade de linearidade na primeira entrada:
que é muito útil para simplificar cálculos em prova (pode “puxar” escalares para fora do produto escalar).