Explique por que cada uma das seguintes expressões faz sentido
(a \mathbf{~ u}) \cdot \mathbf{v}

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que a expressão (a \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} faz sentido. As informações dadas (ou implícitas) são:
  • a é um escalar (um número real).
  • \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores no mesmo espaço \mathbb{R}^n (mesma dimensão).
  • A operação indicada é: primeiro multiplicar o vetor \mathbf{u} pelo escalar a, obtendo a\mathbf{u}, e depois fazer o produto escalar desse resultado com \mathbf{v}.

Passo 2

O que significa multiplicar um vetor por um escalar? Seja \mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n). A definição de multiplicação por escalar é
a\mathbf{u}=(a u_1,a u_2,\dots,a u_n).
Ou seja, multiplicar um vetor por um escalar produz outro vetor na mesma \mathbb{R}^n. Como a\mathbf{u} é um vetor da mesma dimensão de \mathbf{v}, a operação de produto escalar entre eles está bem definida. Exemplo numérico rápido: se a=2 e \mathbf{u}=(1,3) então 2\mathbf{u}=(2,6), que é um vetor.

Passo 3

Vamos lembrar a definição do produto escalar em coordenadas. Se \mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n) e \mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n), então
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.
O produto escalar multiplica componente a componente e soma os resultados. Exemplo: (2,6)\cdot(4,5)=2\cdot4+6\cdot5=8+30=38.

Passo 4

Agora aplicamos a definição ao caso (a\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}. Escrevendo \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n), temos
a\mathbf{u}=(a u_1,\dots,a u_n),
logo
(a\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} (a u_i) v_i.
Pelo fato de que multiplicação em \mathbb{R} é comutativa e distributiva, podemos fatorar a para fora da soma:
\sum_{i=1}^{n} (a u_i) v_i = a \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
Portanto
(a\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=a(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).
Isto mostra tanto que a expressão faz sentido (porque a\mathbf{u} é um vetor compatível com \mathbf{v}) quanto que o escalar pode ser “puxado para fora” do produto escalar.

Passo 5

Interpretação geométrica (intuitiva) para reforçar: o produto escalar também pode ser escrito como
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Ao multiplicar \mathbf{u} por a tem-se \|a\mathbf{u}\|=|a|\,\|\mathbf{u}\|. Se a>0 o ângulo entre a\mathbf{u} e \mathbf{v} é o mesmo \theta; se a<0 o vetor inverte de direção e a cosseno muda de sinal, de forma que o fator a aparece no resultado final. Assim, geometricamente também se obtém
(a\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=a(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).

Passo 6

Resumo e comentário prático para a prova: a expressão (a\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} faz sentido porque a\mathbf{u} é um vetor na mesma \mathbb{R}^n que \mathbf{v}, e o produto escalar é definido entre dois vetores dessa mesma dimensão. Além disso vale a propriedade de linearidade na primeira entrada:
(a\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=a(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}),
que é muito útil para simplificar cálculos em prova (pode “puxar” escalares para fora do produto escalar).

Resposta

(a\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=a(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})

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