- Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: determinar dois vetores unitários que sejam ortogonais a
e a . - Informações dadas (escrevendo em coordenadas):
- Primeiro vetor:
. - Segundo vetor:
.
- Primeiro vetor:
- Observação sobre o pedido: “Dois vetores unitários” aqui significa que queremos um vetor unitário e o seu oposto (direções contrárias), já que o espaço ortogonal a dois vetores não nulos em
é a reta gerada por um único vetor não nulo perpendicular a ambos.
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicando de maneira simples):
- Métodos possíveis: (A) resolver o sistema linear
, para ; (B) usar o produto vetorial . - Eu escolho o produto vetorial porque em
o produto vetorial de dois vetores fornece automaticamente um vetor perpendicular a ambos, e é muito direto de calcular com componentes. O resultado é único até multiplicação por escalar (logo dá os dois sentidos com ). É o método mais prático para esta prova.
Passo 3
Lembrete sobre o produto vetorial (aulas rápidas):
- Para
e , o produto vetorial é o vetor
- Propriedades importantes usadas aqui:
-
é ortogonal a e a , isto é, e . - O produto vetorial muda de sinal se trocarmos a ordem:
.
-
Passo 4
Calcular o produto vetorial
com
e
.
- Calcule cada componente usando a fórmula:
-
-componente: -
-componente: -
-componente:
-
- Portanto,
Passo 5
Verificação de que
é realmente ortogonal a
e
(checar com produto escalar):
-
-
- Como os dois produtos escalares são zero,
é ortogonal aos dois vetores dados.
Passo 6
Normalizar
para obter vetores unitários:
- Primeiro, calcular a norma de
:
- O vetor unitário na direção de
é . Logo
- O outro vetor unitário perpendicular (direção oposta) é simplesmente o negativo: