1. Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a \mathbf{j}+2 \mathbf{k} e \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+3 \mathbf{k}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: determinar dois vetores unitários que sejam ortogonais a \mathbf{j}+2\mathbf{k} e a \mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
  • Informações dadas (escrevendo em coordenadas):
    • Primeiro vetor: \mathbf{a}=\mathbf{j}+2\mathbf{k} = \,(0,\,1,\,2).
    • Segundo vetor: \mathbf{b}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k} = \,(1,\,-2,\,3).
  • Observação sobre o pedido: “Dois vetores unitários” aqui significa que queremos um vetor unitário e o seu oposto (direções contrárias), já que o espaço ortogonal a dois vetores não nulos em \mathbb{R}^3 é a reta gerada por um único vetor não nulo perpendicular a ambos.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicando de maneira simples):
  • Métodos possíveis: (A) resolver o sistema linear \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=0, \mathbf{v}\cdot\mathbf{b}=0 para \mathbf{v}=(x,y,z); (B) usar o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
  • Eu escolho o produto vetorial porque em \mathbb{R}^3 o produto vetorial de dois vetores fornece automaticamente um vetor perpendicular a ambos, e é muito direto de calcular com componentes. O resultado é único até multiplicação por escalar (logo dá os dois sentidos com \pm). É o método mais prático para esta prova.

Passo 3

Lembrete sobre o produto vetorial (aulas rápidas):
  • Para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é o vetor
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\big).
  • Propriedades importantes usadas aqui:
    • \mathbf{a}\times\mathbf{b} é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b}, isto é, (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=0 e (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{b}=0.
    • O produto vetorial muda de sinal se trocarmos a ordem: \mathbf{b}\times\mathbf{a} = -(\mathbf{a}\times\mathbf{b}).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} com \mathbf{a}=(0,1,2) e \mathbf{b}=(1,-2,3).
  • Calcule cada componente usando a fórmula:
    • x-componente: a_2 b_3 - a_3 b_2 = 1\cdot 3 - 2\cdot(-2) = 3 + 4 = 7.
    • y-componente: a_3 b_1 - a_1 b_3 = 2\cdot 1 - 0\cdot 3 = 2.
    • z-componente: a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0\cdot(-2) - 1\cdot 1 = -1.
  • Portanto,
\mathbf{v}=\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (7,\,2,\,-1).

Passo 5

Verificação de que \mathbf{v} é realmente ortogonal a \mathbf{a} e \mathbf{b} (checar com produto escalar):
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{a} = 7\cdot 0 + 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 = 0 + 2 - 2 = 0.
  • \mathbf{v}\cdot\mathbf{b} = 7\cdot 1 + 2\cdot(-2) + (-1)\cdot 3 = 7 - 4 - 3 = 0.
  • Como os dois produtos escalares são zero, \mathbf{v} é ortogonal aos dois vetores dados.

Passo 6

Normalizar \mathbf{v} para obter vetores unitários:
  • Primeiro, calcular a norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{7^{2} + 2^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{49 + 4 + 1} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.
  • O vetor unitário na direção de \mathbf{v} é \dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}. Logo
\mathbf{u} = \frac{1}{3\sqrt{6}}\,(7,\,2,\,-1).
  • O outro vetor unitário perpendicular (direção oposta) é simplesmente o negativo:
-\mathbf{u} = -\frac{1}{3\sqrt{6}}\,(7,\,2,\,-1).

Resposta

\dfrac{1}{3\sqrt{6}}\,(7,\,2,\,-1)
-\dfrac{1}{3\sqrt{6}}\,(7,\,2,\,-1)

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