II. (a) Determine um vetor perpendicular ao plano que passa pelos pontos A(1,0,0), B(2,0,-1) e C(1,4,3).
(b) Determine a área do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado dá três pontos do espaço e pede duas coisas:
  • Pontos fornecidos:
    • A(1,0,0)
    • B(2,0,-1)
    • C(1,4,3)
  • Perguntas:
    1. (a) Determine um vetor perpendicular ao plano que passa por A, B e C.
    2. (b) Determine a área do triângulo ABC.

Passo 2

Ideia inicial (sem cálculos ainda): para achar um vetor perpendicular ao plano determinado por três pontos, primeiro constrói-se dois vetores que pertençam ao plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}). Depois usa-se o produto vetorial (cross product) entre esses dois vetores; o resultado é um vetor perpendicular ao plano. Vou então obter \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} calculando diferenças de coordenadas.

Passo 3

Calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} a partir das coordenadas (subtração coordenada a coordenada):
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;0-0,\;-1-0)=(1,\;0,\;-1).
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-1,\;4-0,\;3-0)=(0,\;4,\;3).
Aqui cada entrada é a diferença da respectiva coordenada: por exemplo a primeira componente de \overrightarrow{AB} é 2-1.

Passo 4

Definição e cálculo do produto vetorial. O produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} é um vetor cujas componentes podem ser obtidas pelo determinante
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix}.
Expandindo esse determinante (regra de Sarrus / cofactores), calcula-se cada componente:
\begin{aligned} \text{componente } \mathbf{i} &= (0)(3)-(-1)(4)=0+4=4,\\[4pt] \text{componente } \mathbf{j} &= -\Big( (1)(3)-(-1)(0)\Big)=-(3-0)=-3,\\[4pt] \text{componente } \mathbf{k} &= (1)(4)-(0)(0)=4-0=4. \end{aligned}
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(4,\,-3,\,4).]

Passo 5

Verificação de que o vetor encontrado é perpendicular ao plano: um vetor é perpendicular a outro quando seu produto escalar com esse outro vetor é zero. Vou checar com \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Cálculo do produto escalar com \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}) =(1,0,-1)\cdot(4,-3,4)=1\cdot4+0\cdot(-3)+(-1)\cdot4=4+0-4=0.
Cálculo do produto escalar com \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}) =(0,4,3)\cdot(4,-3,4)=0\cdot4+4\cdot(-3)+3\cdot4=0-12+12=0.
Como ambos produtos escalares são zero, (4,-3,4) é de fato perpendicular ao plano que contém A,B,C.

Passo 6

Cálculo da área do triângulo ABC. Lembrete: o módulo (norma) do produto vetorial \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| é a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. A área do triângulo é metade disso:
\text{Área}(ABC)=\dfrac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.Á
Calcular a norma de (4,-3,4):
\|\,(4,-3,4)\,\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+9+16}=\sqrt{41}.
Portanto a área do triângulo é
\text{Área}(ABC)=\dfrac{1}{2}\sqrt{41}.Á

Resposta

(4,-3,4)
\dfrac{1}{2}\sqrt{41}

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