II. (a) Determine um vetor perpendicular ao plano que passa pelos pontos A(1,0,0), B(2,0,-1) e C(1,4,3).
(b) Determine a área do triângulo A B C.
Passo 1
O enunciado dá três pontos do espaço e pede duas coisas:
Pontos fornecidos:
A(1,0,0)
B(2,0,-1)
C(1,4,3)
Perguntas:
(a) Determine um vetor perpendicular ao plano que passa por A, B e C.
(b) Determine a área do triângulo ABC.
Passo 2
Ideia inicial (sem cálculos ainda): para achar um vetor perpendicular ao plano determinado por três pontos, primeiro constrói-se dois vetores que pertençam ao plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}). Depois usa-se o produto vetorial (cross product) entre esses dois vetores; o resultado é um vetor perpendicular ao plano. Vou então obter \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} calculando diferenças de coordenadas.
Passo 3
Calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} a partir das coordenadas (subtração coordenada a coordenada):
Aqui cada entrada é a diferença da respectiva coordenada: por exemplo a primeira componente de \overrightarrow{AB} é 2-1.
Passo 4
Definição e cálculo do produto vetorial. O produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} é um vetor cujas componentes podem ser obtidas pelo determinante
Verificação de que o vetor encontrado é perpendicular ao plano: um vetor é perpendicular a outro quando seu produto escalar com esse outro vetor é zero. Vou checar com \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Cálculo do produto escalar com \overrightarrow{AB}:
Como ambos produtos escalares são zero, (4,-3,4) é de fato perpendicular ao plano que contém A,B,C.
Passo 6
Cálculo da área do triângulo ABC. Lembrete: o módulo (norma) do produto vetorial \|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| é a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. A área do triângulo é metade disso: