Determine o domínio de cada função abaixo. Quais delas são contínuas?
f(x, y)=raiz[3]1-x1+y^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio de
f(x,y)=raiz[3]1-x1+y^2
e verificar onde ela é contínua. O conteúdo envolvido é análise de domínio de funções reais de duas variáveis e propriedades de continuidade de composições de funções elementares.

Passo 2

Para que f(x,y) esteja bem definida precisamos que a expressão dentro da raiz cúbica seja um número real. A raiz cúbica aceita qualquer número real como entrada, então o único cuidado é com a fração
1-x1+y^2
O denominador 1+y^2 nunca se anula, pois y^2>=0 implica 1+y^2>=1>0. Logo não há restrição sobre x nem sobre y, e
Dom(f)=R^2

Passo 3

A função f é composta pelas operações contínuas: subtração, potência, soma, divisão (em ponto onde o denominador é não nulo) e raiz cúbica. Como todo polinômio e soma de quadrados são contínuos em R^2, a divisão é contínua onde o denominador não se anula (aqui em toda R^2) e a raiz cúbica é contínua em R, concluímos que
f
é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

O domínio é R^2 e a função é contínua em todo o domínio.

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