Determine o domínio de cada função abaixo. Quais delas são contínuas?
f(x, y, z, t)=t^2+x y z+e^zt-10

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função
f(x,y,z,t)=t^2+x,y,z+e^zt-10
e em seguida verificar se essa função é contínua no seu domínio. Isso envolve conhecer operações elementares de funções de várias variáveis e o critério de continuidade por composição e quociente.

Passo 2

Identificamos que a única possível restrição vem do denominador t-10: para a fração fazer sentido, precisamos ter
t-10 neq 0,
isto é, t neq 10.

Passo 3

Logo, o domínio de f é o conjunto de todos os pontos em R^4 que satisfazem essa condição. Em notação matemática:
Dom(f) =(x,y,z,t)inR^4mid tneq10

Passo 4

Quanto à continuidade, vemos que:
  1. As funções tmapsto t^2, (x,y,z)mapsto x,y,z e zmapsto e^z são contínuas em todo R ou R^3.
  2. A soma e o produto de funções contínuas são contínuos.
  3. O quociente de duas funções contínuas é contínuo desde que o denominador não se anule.
    Como garantimos t-10neq0 em todo o domínio, o quociente também é contínuo ali. Portanto, f é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

Domínio:
Dom(f)=(x,y,z,t)inR^4mid tneq10
A função f é contínua em todo esse domínio.

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