Determine o domínio da função f, sendo: b) f(x)=sumn=2^infty x^nln n

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o domínio da função definida pela série infinita f(x)=sumn=2^infty x^nln n. O conteúdo aqui é séries de potências e teste de convergência de séries, e vamos precisar do teste da raiz para achar o raio de convergência e, depois, testar os pontos limites x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicar o teste da raiz: a gente calcula limntoinftyraiz[n]|x^nln n|. Note que
raiz[n]|x^nln n|=|x|cdot(ln n)^-1/n
e como (ln n)^1/nto1 quando ntoinfty, o teste diz que a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1.

Passo 3

Agora vamos testar o ponto x=1: a série vira sumn=2^infty1ln n. Usando o teste da integral,
integral2^inftydnln n=li(n)|2^infty=infty,
o que mostra que sum1/ln n diverge. Logo em x=1 não entra no domínio.

Passo 4

Falta testar x=-1: aí a série é sumn=2^infty(-1)^n/ln n. Os termos 1/ln n são positivos, tendem a zero e são monotonicamente decrescentes a partir de n=3. Pelo critério de Leibniz (série alternante), essa série converge, embora de modo condicional.

Passo 5

Portanto, juntando tudo, a série converge para |x|<1 e também em x=-1, mas diverge em x=1 e em qualquer |x|>1.

Resposta

O domínio de f é [-1,1).

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