O enunciado pede pra gente achar o domínio da função definida pela série infinita . O conteúdo aqui é séries de potências e teste de convergência de séries, e vamos precisar do teste da raiz para achar o raio de convergência e, depois, testar os pontos limites e .
Passo 2
Aplicar o teste da raiz: a gente calcula . Note que
raiz[n]|x^nln n|=|x|cdot(ln n)^-1/n
e como (ln n)^1/nto1 quando ntoinfty, o teste diz que a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1.
Passo 3
Agora vamos testar o ponto x=1: a série vira sumn=2^infty1ln n. Usando o teste da integral,
integral2^inftydnln n=li(n)|2^infty=infty,
o que mostra que sum1/ln n diverge. Logo em x=1 não entra no domínio.
Passo 4
Falta testar x=-1: aí a série é sumn=2^infty(-1)^n/ln n. Os termos 1/ln n são positivos, tendem a zero e são monotonicamente decrescentes a partir de n=3. Pelo critério de Leibniz (série alternante), essa série converge, embora de modo condicional.
Passo 5
Portanto, juntando tudo, a série converge para |x|<1 e também em x=-1, mas diverge em x=1 e em qualquer |x|>1.