1. Seja p(x) um polinômio divisível por x-2. O quociente da divisão de p(x) por x-2 é dividido por x+4 e o resto obtido é zero. Qual é o resto da divisão de p(x) por x^2+2 x-8 ?
  2. O polinômio x^4+2 x^3-12 x^2-40 x-32 é divisível por x+2? E por (x+2)^2? E por (x+2)^3? E por (x+2)^4?
  3. Mostre que o polinômio x^4-4 x^3+7 x^2-6 x+2 é divisível por (x-1)^2, mas não é divisível por (x-1)^3.
  4. Determine os valores de m e n a fim de que o polinômio x^3-x^2+m x+n seja divisível por (x-2)^2.
  5. Determine os valores das constantes reais m e p a fim de que x^4+2 x^3+2 x^2+m x+p seja divisível por (x+1)^2.
  6. Qual é o maior valor natural de n para o qual o polinômio f(x)=x^5-2 x^4+x^3-x^2+2 x-1 é divisível por (x-1)^n?
  7. Determine os valores das constantes reais a e b de modo que x^4-6 x^3+17 x^2+a x+b seja divisível por (x-2)^2.
  8. O polinômio x^3-13 x+12 é divisível por x-3? E por x+4? E por x^2+x-12?
  9. O polinômio x^5+x^3-2 x é divisível por x? E por x-1? E por x+1? E por x^3-x?
  10. a) Verifique que x^2+x-20=(x-4) cdot(x+5).
    b) Usando a fatoração acima, determine os valores das constantes reais m e n de modo que x^4-x^3+m x^2+37 x+n seja divisível por x^2+x-20.
  11. a) Verifique que x^3-7 x^2-8 x=x(x+1) cdot(x-8).
    b) Mostre que p(x)=x^7-11 x^6+25 x^5-7 x^4-8 x^3+4 x^2-32 x é divisível, separadamente, por x, por x+1 e por x-8.
    c) p(x) é divisível por x^3-7 x^2-8 x?

Passo 1

Temos um conjunto de exercícios (56–66) sobre divisibilidade de polinômios por fatores lineares e quadráticos. Para resolvê-los, vamos usar o Teorema do Resto (que diz que o resto da divisão de p(x) por (x–a) é p(a)) e, quando for (x–a)^n, também as derivadas de p em a, além de fatorações conhecidas para quadráticos.

Passo 2

  1. Seja p(x) tal que p(x) é divisível por (x–2) e seu quociente por (x–2) também é divisível por (x+4). Logo p(x)=(x–2)(x+4)R(x)=(x^2+2x–8)R(x), de onde o resto de p(x) por x^2+2x–8 é zero.

Passo 3

  1. Para f(x)=x4+2x3–12x^2–40x–32 checamos f(–2)=0 ⇒ divisível por (x+2); f’(x)=4x3+6x2–24x–40, f’(–2)=0 ⇒ por (x+2)^2; f’’(x)=12x^2+12x–24, f’’(–2)=0 ⇒ por (x+2)^3; f’’’(–2)≠0 ⇒ não por (x+2)^4.

Passo 4

  1. Em g(x)=x4–4x3+7x^2–6x+2 temos g(1)=0 e g’(1)=0 ⇒ (x–1)^2 divide g, mas g’’(1)≠0 ⇒ não por (x–1)^3.

Passo 5

  1. Para h(x)=x3–x2+mx+n ser divisível por (x–2)^2 impomos h(2)=0 e h’(2)=0: de h(2)=4+2m+n=0 e h’(2)=8+m=0 resulta m=–8, n=12.

Passo 6

  1. Para j(x)=x4+2x3+2x^2+mx+p ter (x+1)^2 como fator, j(–1)=0 e j’(–1)=0 dão 1–m+p=0 e –2+m=0, logo m=2, p=1.

Passo 7

  1. Em f(x)=x5–2x4+x3–x2+2x–1 temos f(1)=0, f’(1)=0, f’’(1)=0 e f’’’(1)≠0, portanto o maior n tal que (x–1)^n | f(x) é n=3.

Passo 8

  1. Para k(x)=x4–6x3+17x^2+ax+b ter (x–2)^2, igualamos k(2)=0 e k’(2)=0: 36+2a+b=0 e 28+a=0, de onde a=–28, b=20.

Passo 9

  1. Em l(x)=x^3–13x+12 temos l(3)=0 ⇒ dividível por (x–3); l(–4)=0 ⇒ por (x+4); logo por x^2+x–12=(x–3)(x+4).

Passo 10

  1. Em m(x)=x5+x3–2x notamos ausência de termo constante ⇒ divisível por x; m(1)=0 ⇒ por (x–1); m(–1)=0 ⇒ por (x+1); assim por x(x–1)(x+1)=x^3–x.

Passo 11

65a. Fatoração dada: x^2+x–20=(x–4)(x+5).
65b. Para n(x)=x4–x3+mx^2+37x+n ser divisível por x^2+x–20 impondo n(4)=0 e n(–5)=0 obtemos o sistema 16m+n+340=0 e 25m+n+565=0, resultando m=–25, n=60.

Passo 12

66a. Já sabemos x3–7x2–8x=x(x+1)(x–8).
66b. Em p(x)=x7–11x6+25x5–7x4–8x3+4x2–32x temos p(0)=0, p(–1)=0 e p(8)=0, logo divisível por x, x+1 e x–8.
66c. Como p(x) é divisível por x, x+1 e x–8, ele é divisível por x(x+1)(x–8)=x3–7x2–8x.

Resposta

  1. Resto = 0
  2. Sim a (x+2), (x+2)^2 e (x+2)^3; não a (x+2)^4
  3. Divisível por (x–1)^2, não por (x–1)^3
  4. m = –8, n = 12
  5. m = 2, p = 1
  6. n = 3
  7. a = –28, b = 20
  8. Sim a x–3, sim a x+4, sim a x^2+x–12
  9. Sim a x, sim a x–1, sim a x+1, sim a x^3–x
    65a. x^2+x–20=(x–4)(x+5)
    65b. m = –25, n = 60
    66a. x3–7x2–8x=x(x+1)(x–8)
    66b. Divisível por x, x+1 e x–8
    66c. Sim, por x3–7x2–8x

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