- Seja
um polinômio divisível por
. O quociente da divisão de
por
é dividido por
e o resto obtido é zero. Qual é o resto da divisão de
por
?
- O polinômio
é divisível por
? E por
? E por
? E por
?
- Mostre que o polinômio
é divisível por
, mas não é divisível por
.
- Determine os valores de
e
a fim de que o polinômio
seja divisível por
.
- Determine os valores das constantes reais
e
a fim de que
seja divisível por
.
- Qual é o maior valor natural de
para o qual o polinômio
é divisível por
?
- Determine os valores das constantes reais
e
de modo que
seja divisível por
.
- O polinômio
é divisível por
? E por
? E por
?
- O polinômio
é divisível por
? E por
? E por
? E por
?
- a) Verifique que
.
b) Usando a fatoração acima, determine os valores das constantes reais
e
de modo que
seja divisível por
.
- a) Verifique que
.
b) Mostre que
é divisível, separadamente, por
, por
e por
.
c)
é divisível por
?
b) Usando a fatoração acima, determine os valores das constantes reais
b) Mostre que
c)
Passo 1
Temos um conjunto de exercícios (56–66) sobre divisibilidade de polinômios por fatores lineares e quadráticos. Para resolvê-los, vamos usar o Teorema do Resto (que diz que o resto da divisão de p(x) por (x–a) é p(a)) e, quando for (x–a)^n, também as derivadas de p em a, além de fatorações conhecidas para quadráticos.
Passo 2
- Seja p(x) tal que p(x) é divisível por (x–2) e seu quociente por (x–2) também é divisível por (x+4). Logo p(x)=(x–2)(x+4)R(x)=(x^2+2x–8)R(x), de onde o resto de p(x) por x^2+2x–8 é zero.
Passo 3
- Para f(x)=x4+2x3–12x^2–40x–32 checamos f(–2)=0 ⇒ divisível por (x+2); f’(x)=4x3+6x2–24x–40, f’(–2)=0 ⇒ por (x+2)^2; f’’(x)=12x^2+12x–24, f’’(–2)=0 ⇒ por (x+2)^3; f’’’(–2)≠0 ⇒ não por (x+2)^4.
Passo 4
- Em g(x)=x4–4x3+7x^2–6x+2 temos g(1)=0 e g’(1)=0 ⇒ (x–1)^2 divide g, mas g’’(1)≠0 ⇒ não por (x–1)^3.
Passo 5
- Para h(x)=x3–x2+mx+n ser divisível por (x–2)^2 impomos h(2)=0 e h’(2)=0: de h(2)=4+2m+n=0 e h’(2)=8+m=0 resulta m=–8, n=12.
Passo 6
- Para j(x)=x4+2x3+2x^2+mx+p ter (x+1)^2 como fator, j(–1)=0 e j’(–1)=0 dão 1–m+p=0 e –2+m=0, logo m=2, p=1.
Passo 7
- Em f(x)=x5–2x4+x3–x2+2x–1 temos f(1)=0, f’(1)=0, f’’(1)=0 e f’’’(1)≠0, portanto o maior n tal que (x–1)^n | f(x) é n=3.
Passo 8
- Para k(x)=x4–6x3+17x^2+ax+b ter (x–2)^2, igualamos k(2)=0 e k’(2)=0: 36+2a+b=0 e 28+a=0, de onde a=–28, b=20.
Passo 9
- Em l(x)=x^3–13x+12 temos l(3)=0 ⇒ dividível por (x–3); l(–4)=0 ⇒ por (x+4); logo por x^2+x–12=(x–3)(x+4).
Passo 10
- Em m(x)=x5+x3–2x notamos ausência de termo constante ⇒ divisível por x; m(1)=0 ⇒ por (x–1); m(–1)=0 ⇒ por (x+1); assim por x(x–1)(x+1)=x^3–x.
Passo 11
65a. Fatoração dada: x^2+x–20=(x–4)(x+5).
65b. Para n(x)=x4–x3+mx^2+37x+n ser divisível por x^2+x–20 impondo n(4)=0 e n(–5)=0 obtemos o sistema 16m+n+340=0 e 25m+n+565=0, resultando m=–25, n=60.
65b. Para n(x)=x4–x3+mx^2+37x+n ser divisível por x^2+x–20 impondo n(4)=0 e n(–5)=0 obtemos o sistema 16m+n+340=0 e 25m+n+565=0, resultando m=–25, n=60.
Passo 12
66a. Já sabemos x3–7x2–8x=x(x+1)(x–8).
66b. Em p(x)=x7–11x6+25x5–7x4–8x3+4x2–32x temos p(0)=0, p(–1)=0 e p(8)=0, logo divisível por x, x+1 e x–8.
66c. Como p(x) é divisível por x, x+1 e x–8, ele é divisível por x(x+1)(x–8)=x3–7x2–8x.
66b. Em p(x)=x7–11x6+25x5–7x4–8x3+4x2–32x temos p(0)=0, p(–1)=0 e p(8)=0, logo divisível por x, x+1 e x–8.
66c. Como p(x) é divisível por x, x+1 e x–8, ele é divisível por x(x+1)(x–8)=x3–7x2–8x.
Resposta
- Resto = 0
- Sim a (x+2), (x+2)^2 e (x+2)^3; não a (x+2)^4
- Divisível por (x–1)^2, não por (x–1)^3
- m = –8, n = 12
- m = 2, p = 1
- n = 3
- a = –28, b = 20
- Sim a x–3, sim a x+4, sim a x^2+x–12
- Sim a x, sim a x–1, sim a x+1, sim a x^3–x
65a. x^2+x–20=(x–4)(x+5)
65b. m = –25, n = 60
66a. x3–7x2–8x=x(x+1)(x–8)
66b. Divisível por x, x+1 e x–8
66c. Sim, por x3–7x2–8x