Determine o domínio da função f(x) = 1/arcsen(|x|-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir todos os valores de para os quais a função está definida. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e valores permitidos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte interna da função: . A função (ou seno inverso) só está definida quando o seu argumento está entre -1 e 1, ou seja:
Isso nos dá uma primeira condição para .

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade:
Primeiro, adicionamos 4 em todos os lados para isolar :
Então, o valor absoluto de deve estar entre 3 e 5. Isso significa que:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que tem no denominador. Então, para a função estar definida, o denominador não pode ser zero:
Sabemos que , então precisamos que:
Isso significa que não pode ser 4 nem -4.

Passo 5

Combinando as condições anteriores:
  1. deve estar entre -5 e -3 ou entre 3 e 5.
  2. não pode ser 4 nem -4.
Então, excluindo esses pontos, o domínio fica dividido em quatro intervalos:

Resposta

O domínio da função é:

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