Decida se a função
pode ser inversa de
em algum domínio.
Passo 1
Beleza! A gente vai analisar se a função inversa proposta, , realmente é a inversa da função
em algum domínio. Vamos usar conceitos de funções inversas e entender os domínios onde isso faz sentido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se
e
são inversas, então:
Isso deve ser válido dentro dos domínios onde as funções estão definidas.
Passo 3
Vamos começar verificando a composição
. Substituindo
na função
:
Passo 4
Sabemos que é a função inversa de , ou seja, , desde que
esteja no intervalo
. Aplicando isso:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para que
, precisamos que
. Isso acontece quando
. Portanto, dentro desse intervalo, a composição funciona.
Passo 6
Agora, vamos verificar a outra composição
. Substituindo
na função
:
Simplificando:
Então:
Desde que
esteja no intervalo
, onde e são funções inversas.
Passo 7
Resumindo, as composições
e
são válidas quando:
-
para a primeira composição. -
está no intervalo para a segunda composição.
Resposta
Sim, a função é inversa de
quando consideramos que
e
está no intervalo
. Nessas condições, as funções são inversas uma da outra.