Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt{1-3 x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\sqrt{1-3x}.
Informações que o enunciado dá:
  • A expressão que aparece dentro da raiz (o radicando) é 1-3x.
  • A função está definida com a raiz quadrada comum (símbolo \sqrt{\cdot}), e o objetivo é achar todos os x\in\mathbb{R} para os quais f(x) é um número real.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (uma mini-aula): a raiz quadrada principal \sqrt{y}, quando trabalhamos com números reais, está definida apenas para argumentos y não negativos. Em palavras: para que \sqrt{y} seja um número real precisamos ter
y \ge 0.
Exemplo rápido para fixar: \sqrt{4}=2 porque 4\ge0, enquanto \sqrt{-1} não é um número real porque -1<0.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: o radicando é 1-3x. Portanto, a condição para f(x) ser real é
1-3x \ge 0.
Essa desigualdade é a condição que define o domínio.

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade passo a passo, explicando cada operação:
  1. Subtrair 1 dos dois lados:
1-3x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad -3x \ge -1.
  1. Agora dividimos ambos os lados por -3. Ao dividir ou multiplicar uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte — isso é uma regra de desigualdades que costuma confundir, então sempre fique atento. Dividindo por -3:
x \le \frac{1}{3}.
Portanto, a solução da desigualdade é todos os x menores ou iguais a \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Checagem rápida por exemplos (para ganhar confiança):
  • Se x=0, então 1-3x=1\ge0 e \sqrt{1}=1 (válido).
  • Se x=\tfrac{1}{3}, então 1-3x=0 e \sqrt{0}=0 (válido — por isso incluímos o ponto \tfrac{1}{3}).
  • Se x=1, então 1-3x=-2<0, \sqrt{-2} não é real (logo x=1 não pertence ao domínio).

Resposta

(-\infty,\tfrac{1}{3}]

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