Determine o domínio das funções:
y=\frac{5 x-3}{\sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado dá a função y=\dfrac{5x-3}{\sqrt{x}} e pede o domínio — isto é, o conjunto de valores de x (reais) para os quais a expressão está bem definida (sem ambiguidade e com operações permitidas).

Passo 2

Explicar as restrições que vêm da expressão:
  • A presença de \sqrt{x} implica que devemos ter a raiz quadrada de x bem definida como número real. A raiz quadrada em \mathbb{R} está definida apenas para números não negativos, portanto exige-se
x \ge 0.
  • Além disso, \sqrt{x} aparece no denominador. Não é permitido dividir por zero em \mathbb{R}. Logo é necessário que
\sqrt{x} \neq 0.
Interpretar a segunda restrição em termos de x. A equação \sqrt{x}=0 é equivalente a x=0. Assim a exigência \sqrt{x}\neq 0 equivale a
x \neq 0.

Passo 3

Combinar as duas condições encontradas no Passo 2:
  • Temos x \ge 0 (da raiz real) e simultaneamente x \neq 0 (do denominador). A interseção dessas condições é
x>0.
Como verificação rápida, note que podemos reescrever a função dividindo pelo radical:
\frac{5x-3}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}},
e ambas as parcelas só fazem sentido (como números reais) quando \sqrt{x} é um número real diferente de zero, isto é, quando x>0.

Passo 4

Resumo didático e incentivo: as únicas restrições vêm da raiz (exigir x\ge 0) e do denominador (excluir x=0). Combinando, sobra apenas x>0. Tu já chegou longe — tá pronto pra próxima!

Resposta

(0,\infty)

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