Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
f(x)=\sqrt{\frac{2 x-1}{1-3 x}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: determinar o domínio da função \displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{2x-1}{1-3x}}.
  • Informação relevante do enunciado:
    • A função envolve uma raiz quadrada real \sqrt{\cdot}.
    • O que está dentro da raiz é a expressão racional \dfrac{2x-1}{1-3x}.

Passo 2

Condições que precisam ser satisfeitas para a função estar bem definida (explicando a teoria básica, devagar e com carinho):
  • Para que \sqrt{y} seja um número real precisamos ter y\ge 0. Ou seja, o radicando deve ser não negativo.
  • Para uma fração \dfrac{A}{B} estar definida é necessário B\neq 0.
Aplicando ao nosso caso: é preciso
\frac{2x-1}{1-3x}\ge 0 \qquad\text{e}\qquad 1-3x\neq 0.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos (onde numerador ou denominador se anulam), porque eles dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante:
  • Numerador: 2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}.
  • Denominador: 1-3x=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{3} (esse valor é proibido pois anula o denominador).
Portanto os intervalos a testar são (-\infty,\tfrac{1}{3}), (\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}) e (\tfrac{1}{2},\infty).

Passo 4

Analisar o sinal da fração em cada intervalo usando sinais dos fatores 2x-1 e 1-3x:
  • Para x<\tfrac{1}{3} (ex.: x=0):
    • 2x-1<0 e 1-3x>0 então \dfrac{2x-1}{1-3x}<0. Não satisfaz a desigualdade \ge 0.
  • Para \tfrac{1}{3}<x<\tfrac{1}{2} (ex.: x=0{,}4):
    • 2x-1<0 e 1-3x<0 então \dfrac{2x-1}{1-3x}>0. Satisfaz \ge 0.
  • Para x>\tfrac{1}{2} (ex.: x=1):
    • 2x-1>0 e 1-3x<0 então \dfrac{2x-1}{1-3x}<0. Não satisfaz.
Também verificar os pontos críticos:
  • x=\tfrac{1}{3} é proibido porque anula o denominador.
  • x=\tfrac{1}{2} anula o numerador, então \dfrac{2x-1}{1-3x}=0 em x=\tfrac{1}{2}; isso é permitido pois \sqrt{0}=0 e o denominador em x=\tfrac{1}{2} é 1-3\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}\neq 0.

Passo 5

Reunindo tudo: os x que tornam o radicando não negativo e não anulam o denominador são os x do intervalo \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\right].

Resposta

\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\right]

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