Determine o domínio das funções reais de duas variáveis reais abaixo:
f(x, y)=\sqrt{x}-2 \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real de duas variáveis
f(x,y)=\sqrt{x}-2\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas e o que é necessário considerar:
  • A função é dada por duas raízes quadradas (radicais) reais: \sqrt{x} e \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.
  • Precisamos encontrar todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} para os quais ambas as expressões sob as raízes são definidas como números reais (i.e., não negativas).
  • Não há outras restrições no enunciado (como denominadores ou logaritmos) além das raízes.

Passo 2

Condição vinda de \sqrt{x}.
  • Pelo significado da raiz quadrada principal, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
  • Logo exigimos
x \ge 0.
Explicando passo a passo: a expressão \sqrt{x} só tem valor real quando o número x é não negativo. Se x fosse negativo, \sqrt{x} não seria um número real e a função não estaria definida ali.

Passo 3

Condição vinda de \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.
  • Novamente, o radicando deve ser não negativo:
1 - x^{2} - y^{2} \ge 0.
  • Reescrevendo,
x^{2} + y^{2} \le 1.
Interpretação geométrica: essa desigualdade descreve o disco fechado de raio 1 centrado na origem no plano (x,y). Ou seja, todos os pontos cuja distância ao origin é menor ou igual a 1.

Passo 4

Combinação das duas condições.
  • Para que f(x,y) esteja definida como número real, ambas as condições simultâneas devem valer:
x \ge 0\quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}\le 1.
  • Em palavras: estamos buscando a interseção entre o semi-plano à direita \{x\ge 0\} e o disco unitário \{x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • Geometricamente isso é o semicírculo (disco) direito de raio 1, incluindo a borda: todos os pontos do disco unitário com coordenada x não negativa.

Passo 5

Verificação de casos limites e exemplos (para fixar a ideia).
  • Se x=0, então a condição do disco exige y^{2}\le 1, ou seja -1\le y\le 1. Pontos como (0,1) e (0,-1) estão no domínio.
  • Se x=1, então y deve satisfazer 1 + y^{2}\le 1, isto é y=0. O ponto (1,0) pertence ao domínio.
  • Se x<0 qualquer, mesmo que x^{2}+y^{2}\le 1 seja verdade, o ponto é excluído por causa de \sqrt{x}.
  • Exemplos numéricos: (0{,}5,0{,}8) tem x^{2}+y^{2}=0{,}25+0{,}64=0{,}89\le1 e x=0{,}5\ge0, portanto está no domínio; já (-0{,}2,0) tem x<0, então não está no domínio.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge 0,\;x^{2}+y^{2}\le 1\}

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