Determine o domínio das funções reais de duas variáveis reais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função real de duas variáveis
Informações dadas e o que é necessário considerar:
- A função é dada por duas raízes quadradas (radicais) reais:
e . - Precisamos encontrar todos os pares
para os quais ambas as expressões sob as raízes são definidas como números reais (i.e., não negativas). - Não há outras restrições no enunciado (como denominadores ou logaritmos) além das raízes.
Passo 2
Condição vinda de
.
- Pelo significado da raiz quadrada principal, o radicando deve ser maior ou igual a zero.
- Logo exigimos
Explicando passo a passo: a expressão
só tem valor real quando o número
é não negativo. Se
fosse negativo,
não seria um número real e a função não estaria definida ali.
Passo 3
Condição vinda de
.
- Novamente, o radicando deve ser não negativo:
- Reescrevendo,
Interpretação geométrica: essa desigualdade descreve o disco fechado de raio
centrado na origem no plano
. Ou seja, todos os pontos cuja distância ao origin é menor ou igual a
.
Passo 4
Combinação das duas condições.
- Para que
esteja definida como número real, ambas as condições simultâneas devem valer:
- Em palavras: estamos buscando a interseção entre o semi-plano à direita
e o disco unitário . - Geometricamente isso é o semicírculo (disco) direito de raio
, incluindo a borda: todos os pontos do disco unitário com coordenada não negativa.
Passo 5
Verificação de casos limites e exemplos (para fixar a ideia).
- Se
, então a condição do disco exige , ou seja . Pontos como e estão no domínio. - Se
, então deve satisfazer , isto é . O ponto pertence ao domínio. - Se
qualquer, mesmo que seja verdade, o ponto é excluído por causa de . - Exemplos numéricos:
tem e , portanto está no domínio; já tem , então não está no domínio.