Determine o domínio das funções reais de duas variáveis reais abaixo:
f(x, y)=y-x.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=y-x e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é de duas variáveis reais: as entradas são pares (x,y).
  • A expressão que define a função é \,y-x.
    A pergunta que devemos responder é: para quais pares (x,y) a expressão \,y-x está bem definida?

Passo 2

O que significa “domínio” para uma função de duas variáveis?
  • Por definição, o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define a função faz sentido (ou seja, é bem definida e produz um número real).
  • Em problemas como este, as únicas coisas que podem impedir que uma expressão faça sentido são operações com restrições, por exemplo:
    • divisão por zero (ex.: \,g(x,y)=\dfrac{1}{x+y} não está definida quando \,x+y=0);
    • raiz par de número negativo (ex.: \,h(x,y)=\sqrt{x-y} exige \,x-y\ge 0);
    • logaritmo de número não positivo (ex.: \,k(x,y)=\ln(x^2+y) exige \,x^2+y>0).
      Expliquei esses exemplos porque ao fazer a prova é bom lembrar de checar exatamente esse tipo de restrição.

Passo 3

Agora olhamos para a expressão dada: \,f(x,y)=y-x.
  • Essa expressão usa apenas a operação de subtração entre os números y e x.
  • A subtração entre dois números reais é sempre uma operação válida: se x e y são números reais, então y-x também é um número real (isso decorre da propriedade de fechamento dos reais em relação a soma e subtração).
  • Portanto, não há nenhuma condição extra (nenhuma divisão, raiz par, log, etc.) que restrinja x ou y.

Passo 4

Conclusão parcial com base no passo anterior: não existe nenhuma restrição sobre x nem sobre y; qualquer valor real em cada coordenada é permitido. Na prática, isso significa que todos os pares de números reais são aceitos como entrada da função.

Passo 5

Dica rápida para a prova (animação amiga): ao ver uma função nova, só precisa checar se há operações que impõem condições (denominador, raíz par, log, potências fracionárias com denominador par, etc.). Se nenhuma dessas aparecer — como aqui, só soma/subtração/multiplicação por constantes — então normalmente o domínio é todo o conjunto de pares reais. Força na prova, tu consegue!

Resposta

\mathbb{R}^2

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