Determine o domínio das funções reais de duas variáveis reais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função é de duas variáveis reais: as entradas são pares
. - A expressão que define a função é
.
A pergunta que devemos responder é: para quais paresa expressão está bem definida?
Passo 2
O que significa “domínio” para uma função de duas variáveis?
- Por definição, o domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define a função faz sentido (ou seja, é bem definida e produz um número real). - Em problemas como este, as únicas coisas que podem impedir que uma expressão faça sentido são operações com restrições, por exemplo:
- divisão por zero (ex.:
não está definida quando ); - raiz par de número negativo (ex.:
exige ); - logaritmo de número não positivo (ex.:
exige ).
Expliquei esses exemplos porque ao fazer a prova é bom lembrar de checar exatamente esse tipo de restrição.
- divisão por zero (ex.:
Passo 3
Agora olhamos para a expressão dada:
.
- Essa expressão usa apenas a operação de subtração entre os números
e . - A subtração entre dois números reais é sempre uma operação válida: se
e são números reais, então também é um número real (isso decorre da propriedade de fechamento dos reais em relação a soma e subtração). - Portanto, não há nenhuma condição extra (nenhuma divisão, raiz par, log, etc.) que restrinja
ou .
Passo 4
Conclusão parcial com base no passo anterior: não existe nenhuma restrição sobre
nem sobre
; qualquer valor real em cada coordenada é permitido. Na prática, isso significa que todos os pares de números reais são aceitos como entrada da função.
Passo 5
Dica rápida para a prova (animação amiga): ao ver uma função nova, só precisa checar se há operações que impõem condições (denominador, raíz par, log, potências fracionárias com denominador par, etc.). Se nenhuma dessas aparecer — como aqui, só soma/subtração/multiplicação por constantes — então normalmente o domínio é todo o conjunto de pares reais. Força na prova, tu consegue!