Determine o domínio das funções reais de várias variáveis reais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função real de três variáveis
Informações dadas:
A função é definida por multiplicação dos três números
,
e
.
As variáveis
,
e
são números reais (o enunciado fala em “funções reais de várias variáveis reais”).
A pergunta é: para quais tríplas
a expressão
está bem definida como número real? (ou seja, qual é o domínio da função)
Passo 2
O que significa “domínio” aqui — uma explicação didática:
Em outras palavras, devemos listar todas as possíveis entradas
para as quais a fórmula nos dá um número real. Repare que operações diferentes impõem restrições distintas: algumas operações tornam o domínio menor (por exemplo divisão por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos de números não positivos), enquanto outras não impõem restrições.
Passo 3
Exemplos de operações que restringem o domínio (para fixar a ideia):
Esses exemplos mostram por que devemos sempre verificar a presença de divisão, raízes pares, logaritmos, etc., quando buscamos domínio.
Passo 4
Verificando a expressão
: trata-se apenas de multiplicações sucessivas de números reais. A propriedade importante que vamos usar é a seguinte:
os números reais são fechados sob multiplicação — isto é, para quaisquer temos
.
Aplicando isso duas vezes:
Se
e
, então
.
Se
e
, então
.
Não há divisão, raiz par, logaritmo nem qualquer outra operação que possa tornar a expressão indefinida para alguns reais. Portanto não há restrição: qualquer escolha de reais dá um valor real para
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os números reais são fechados sob multiplicação — isto é, para quaisquer
Aplicando isso duas vezes:
Não há divisão, raiz par, logaritmo nem qualquer outra operação que possa tornar a expressão indefinida para alguns reais. Portanto não há restrição: qualquer escolha de
Passo 5
Conclusão e notação do domínio:
o conjunto de todas as entradas válidas é simplesmente todo o espaço , ou escrito explicitamente,
o conjunto de todas as entradas válidas é simplesmente todo o espaço
Em linguagem de prova: para todo
a expressão
está bem definida e pertence a
; portanto o domínio é
.