Determine o domínio das funções reais de várias variáveis reais abaixo:
f(x, y, z)=x y z.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função real de três variáveis
f(x,y,z)=xyz.
Informações dadas:
A função é definida por multiplicação dos três números x, y e z.
As variáveis x, y e z são números reais (o enunciado fala em “funções reais de várias variáveis reais”).
A pergunta é: para quais tríplas (x,y,z) a expressão xyz está bem definida como número real? (ou seja, qual é o domínio da função)

Passo 2

O que significa “domínio” aqui — uma explicação didática:
\text{Domínio} = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid \text{a expressão que define } f(x,y,z) \text{ é um número real}\}.íãéú
Em outras palavras, devemos listar todas as possíveis entradas (x,y,z) para as quais a fórmula nos dá um número real. Repare que operações diferentes impõem restrições distintas: algumas operações tornam o domínio menor (por exemplo divisão por zero, raízes pares de números negativos, logaritmos de números não positivos), enquanto outras não impõem restrições.

Passo 3

Exemplos de operações que restringem o domínio (para fixar a ideia):
\text{Se }g(t)=\frac{1}{t},\text{ então Dom}(g)=\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq 0\}.ã
\text{Se }h(t)=\sqrt{t},\text{ então Dom}(h)=\{t\in\mathbb{R}\mid t\ge 0\}.ã
\text{Se }k(t)=\ln(t),\text{ então Dom}(k)=\{t\in\mathbb{R}\mid t>0\}.ã
Esses exemplos mostram por que devemos sempre verificar a presença de divisão, raízes pares, logaritmos, etc., quando buscamos domínio.

Passo 4

Verificando a expressão xyz: trata-se apenas de multiplicações sucessivas de números reais. A propriedade importante que vamos usar é a seguinte:
os números reais são fechados sob multiplicação — isto é, para quaisquer a,b\in\mathbb{R} temos a\cdot b\in\mathbb{R}.
Aplicando isso duas vezes:
Se x\in\mathbb{R} e y\in\mathbb{R}, então x y \in\mathbb{R}.
Se x y \in\mathbb{R} e z\in\mathbb{R}, então (x y) z = x y z \in\mathbb{R}.
Não há divisão, raiz par, logaritmo nem qualquer outra operação que possa tornar a expressão indefinida para alguns reais. Portanto não há restrição: qualquer escolha de x,y,z reais dá um valor real para f(x,y,z).

Passo 5

Conclusão e notação do domínio:
o conjunto de todas as entradas válidas é simplesmente todo o espaço \mathbb{R}^3, ou escrito explicitamente,
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\}.
Em linguagem de prova: para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 a expressão xyz está bem definida e pertence a \mathbb{R}; portanto o domínio é \mathbb{R}^3.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^3

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