Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
h(x)=\sqrt{9-x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função h(x)=\sqrt{9-x^{2}} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de h.
  • Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de h.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da raiz quadrada é 9-x^{2}.
  • A raiz quadrada real \sqrt{\cdot} só está definida para números maiores ou iguais a zero.

Passo 2

Condição para o domínio: o radicando deve ser não negativo. Portanto precisamos resolver a desigualdade
9-x^{2}\ge 0.
Esta é a condição que garante que \sqrt{9-x^{2}} seja um número real.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,9-x^{2}\ge 0\,:
Primeiro reescrevo como
x^{2}\le 9.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (lembrando que x^{2} dá valor não negativo), obtemos
|x|\le 3.
Isto é equivalente a
-3\le x\le 3.
Também é possível ver isso fatorando 9-x^{2}=(3-x)(3+x) e fazendo um quadro de sinais; o resultado é o mesmo: os pontos que satisfazem a desigualdade são x entre -3 e 3, inclusive.
Logo o domínio é o intervalo fechado [-3,3].

Passo 4

Agora a imagem (valores que h efetivamente assume). Para x\in[-3,3] o radicando 9-x^{2} varia entre 0 e 9, isto é,
0\le 9-x^{2}\le 9.
Aplicando a função raiz quadrada (que é crescente em [0,\infty)), obtemos
0\le \sqrt{9-x^{2}}\le 3.
Verificação dos extremos:
  • Para x=\pm 3 temos h(\pm 3)=\sqrt{9-9}=0, então o valor mínimo 0 é alcançado.
  • Para x=0 temos h(0)=\sqrt{9}=3, então o valor máximo 3 é alcançado.
Portanto a imagem é o intervalo fechado [0,3].
(Interpretação geométrica rápida, se ajudar a memorizar: os pontos (x,h(x)) satisfazem x^{2}+h(x)^{2}=9 com h(x)\ge0, isto é, formam a semicircunferência superior de raio 3.)

Passo 5

Resumo final já preparado abaixo.

Resposta

Domínio: [-3,3]
Imagem: [0,3]

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