Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro da raiz quadrada é
. - A raiz quadrada real
só está definida para números maiores ou iguais a zero.
Passo 2
Condição para o domínio: o radicando deve ser não negativo. Portanto precisamos resolver a desigualdade
Esta é a condição que garante que
seja um número real.
Passo 3
Resolver a desigualdade
:
Primeiro reescrevo como
Primeiro reescrevo como
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (lembrando que
dá valor não negativo), obtemos
Isto é equivalente a
Também é possível ver isso fatorando
e fazendo um quadro de sinais; o resultado é o mesmo: os pontos que satisfazem a desigualdade são
entre
e
, inclusive.
Logo o domínio é o intervalo fechado
.
Passo 4
Agora a imagem (valores que
efetivamente assume). Para
o radicando
varia entre
e
, isto é,
Aplicando a função raiz quadrada (que é crescente em
), obtemos
Verificação dos extremos:
- Para
temos , então o valor mínimo é alcançado. - Para
temos , então o valor máximo é alcançado.
Portanto a imagem é o intervalo fechado
.
(Interpretação geométrica rápida, se ajudar a memorizar: os pontos
satisfazem
com
, isto é, formam a semicircunferência superior de raio
.)
Passo 5
Resumo final já preparado abaixo.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: