Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas claras:
- determinar o domínio de
(todos os valores de para os quais a expressão faz sentido); - determinar a imagem de
(todos os valores possíveis de quando percorre o domínio).
Informações relevantes fornecidas:
- a função é uma fração racional com denominador
; - não há outras restrições explícitas.
Passo 2
Conceito necessário sobre domínio (mini-aula): o domínio de uma expressão algébrica é o conjunto de todos os
para os quais a expressão está bem definida. Em frações racionais, a única causa de problemas são denominadores nulos. Assim, para achar o domínio, identificamos valores de
que tornam o denominador zero e os excluímos.
Aplicando isso aqui: o denominador é
. Ele vale zero quando
Portanto
não pertence ao domínio e qualquer outro
é permitido.
Conclusão do domínio:
Passo 3
Conceito necessário sobre imagem (mini-aula): a imagem de
é o conjunto de todos os valores
que aparecem como
para algum
do domínio. Uma maneira prática de encontrar a imagem de uma função racional linear/quociente linear é resolver a equação
para
em função de
e ver quais
impossibilitam obter um
real e permitido.
Vamos fazer isso: partindo de
multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que isso só é válido para
, que já excluímos do domínio):
Desenvolvendo:
Agrupando os termos com
:
Colocando
em evidência:
Se
(ou seja,
), obtemos
Isto mostra que para qualquer
existe um
(dado por essa fórmula) que produz esse
. Precisamos verificar duas coisas: (i) esse
é real (sim, é uma razão de números reais), e (ii) esse
pertence ao domínio, ou seja, não vale
. Vamos checar (ii).
Passo 4
Verificação se a fórmula pode gerar
(mini-aula de consistência): suponha que, para algum
,
Multiplicando ambos os lados por
:
Calculando o lado direito:
Cancelando
dos dois lados obtemos
que é uma contradição. Portanto não existe
que leve a
. Assim, para todo
a
encontrado está no domínio e é válido.
Passo 5
Ainda é preciso verificar se
pode ocorrer. Vamos tentar resolver
:
Multiplicando:
Subtraindo
de ambos os lados:
que é impossível. Logo
nunca é atingido por
.
Também é didático ver a assimptota horizontal: como numerador e denominador têm mesmo grau (grau
), a assimptota horizontal é
razão dos coeficientes líderes, isto é
. Isso confirma que
se aproxima de
quando
mas nunca a alcança — portanto
não pertence à imagem.
Passo 6
Conclusão sobre a imagem: juntando o que foi mostrado — para todo
existe
no domínio com
, e
não é atingido — temos
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: