Determine o domínio e a imagem das funções a seguir:
g(x)=\frac{2 x-1}{x+3}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
g(x)=\frac{2x-1}{x+3}
e pede duas coisas claras:
  • determinar o domínio de g (todos os valores de x para os quais a expressão faz sentido);
  • determinar a imagem de g (todos os valores possíveis de y=g(x) quando x percorre o domínio).
Informações relevantes fornecidas:
  • a função é uma fração racional com denominador x+3;
  • não há outras restrições explícitas.

Passo 2

Conceito necessário sobre domínio (mini-aula): o domínio de uma expressão algébrica é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} para os quais a expressão está bem definida. Em frações racionais, a única causa de problemas são denominadores nulos. Assim, para achar o domínio, identificamos valores de x que tornam o denominador zero e os excluímos.
Aplicando isso aqui: o denominador é x+3. Ele vale zero quando
x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3.
Portanto x=-3 não pertence ao domínio e qualquer outro x\in\mathbb{R} é permitido.
Conclusão do domínio:
\text{Dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3\}.

Passo 3

Conceito necessário sobre imagem (mini-aula): a imagem de g é o conjunto de todos os valores y que aparecem como y=g(x) para algum x do domínio. Uma maneira prática de encontrar a imagem de uma função racional linear/quociente linear é resolver a equação y=\dfrac{2x-1}{x+3} para x em função de y e ver quais y impossibilitam obter um x real e permitido.
Vamos fazer isso: partindo de
y=\frac{2x-1}{x+3},
multiplicamos ambos os lados por x+3 (lembrando que isso só é válido para x\neq -3, que já excluímos do domínio):
y(x+3)=2x-1.
Desenvolvendo:
yx+3y=2x-1.
Agrupando os termos com x:
yx-2x=-1-3y.
Colocando x em evidência:
x(y-2)=-1-3y.
Se y-2\neq 0 (ou seja, y\neq 2), obtemos
x=\frac{-1-3y}{y-2}.
Isto mostra que para qualquer y\neq 2 existe um x (dado por essa fórmula) que produz esse y. Precisamos verificar duas coisas: (i) esse x é real (sim, é uma razão de números reais), e (ii) esse x pertence ao domínio, ou seja, não vale -3. Vamos checar (ii).

Passo 4

Verificação se a fórmula pode gerar x=-3 (mini-aula de consistência): suponha que, para algum y\neq2,
\frac{-1-3y}{y-2}=-3.
Multiplicando ambos os lados por y-2:
-1-3y=-3(y-2).
Calculando o lado direito:
-1-3y=-3y+6.
Cancelando -3y dos dois lados obtemos
-1=6,
que é uma contradição. Portanto não existe y\neq2 que leve a x=-3. Assim, para todo y\neq2 a x encontrado está no domínio e é válido.

Passo 5

Ainda é preciso verificar se y=2 pode ocorrer. Vamos tentar resolver g(x)=2:
\frac{2x-1}{x+3}=2.
Multiplicando:
2x-1=2(x+3)=2x+6.
Subtraindo 2x de ambos os lados:
-1=6,
que é impossível. Logo y=2 nunca é atingido por g.
Também é didático ver a assimptota horizontal: como numerador e denominador têm mesmo grau (grau 1), a assimptota horizontal é y= razão dos coeficientes líderes, isto é y=\dfrac{2}{1}=2. Isso confirma que g(x) se aproxima de 2 quando |x|\to\infty mas nunca a alcança — portanto 2 não pertence à imagem.

Passo 6

Conclusão sobre a imagem: juntando o que foi mostrado — para todo y\neq2 existe x no domínio com g(x)=y, e y=2 não é atingido — temos
\text{Im}(g)=\{y\in\mathbb{R}\mid y\neq 2\}.

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3\}
Imagem: \{y\in\mathbb{R}\mid y\neq 2\}

Exercícios relacionados