Determine o domínio (máximo) de cada uma das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio (máximo) da função
.
Informações relevantes do enunciado: está dada por uma fração cujo numerador é
e cujo denominador é
. Para que
esteja definida, o denominador não pode ser zero. Não há imagem ou tabela adicional.
Informações relevantes do enunciado:
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): uma função dada por uma fração como
só está definida nos pontos onde o denominador
é diferente de zero. Portanto, para encontrar o domínio máximo precisamos encontrar todos os valores de
que fazem
e excluir esses valores do conjunto onde
varia (no caso mais geral, o conjunto é
, o plano complexo). Vou explicar passo a passo como achar essas raízes.
Passo 3
Resolver a equação quadrática. Para a equação geral
a fórmula quadrática dá as raízes por
onde
,
,
são os coeficientes. Aqui temos
,
,
. Calculamos o discriminante:
Explicação:
indica a natureza das raízes. Como
, as raízes não são números reais; são complexas. A raiz quadrada de
é
, onde
é a unidade imaginária (
).
Passo 4
Aplicando a fórmula com os valores encontrados:
Portanto as soluções da equação
são
e
. Podemos então fatorar o denominador como
o que confirma que os únicos pontos onde o denominador é zero são exatamente
e
.
Passo 5
Conclusão sobre o domínio: como a função só é indefinida onde o denominador se anula, o domínio máximo (no sentido mais geral, tomando
como número complexo) é o plano complexo com esses dois pontos removidos. Observação extra útil para a prova: se por acaso a variável
for restrita aos números reais, note que as raízes encontradas não são reais, então o denominador nunca se anula em
e o domínio real seria todo
.