Determine o domínio (máximo) de cada uma das seguintes funções:
f(z)=\frac{1}{z^{2}-2 z+2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio (máximo) da função \displaystyle f(z)=\frac{1}{z^{2}-2 z+2}.
Informações relevantes do enunciado: \displaystyle f(z) está dada por uma fração cujo numerador é \displaystyle 1 e cujo denominador é \displaystyle z^{2}-2z+2. Para que f(z) esteja definida, o denominador não pode ser zero. Não há imagem ou tabela adicional.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): uma função dada por uma fração como \displaystyle \frac{A(z)}{B(z)} só está definida nos pontos onde o denominador B(z) é diferente de zero. Portanto, para encontrar o domínio máximo precisamos encontrar todos os valores de z que fazem
z^{2}-2z+2=0
e excluir esses valores do conjunto onde z varia (no caso mais geral, o conjunto é \displaystyle \mathbb{C}, o plano complexo). Vou explicar passo a passo como achar essas raízes.

Passo 3

Resolver a equação quadrática. Para a equação geral az^{2}+bz+c=0 a fórmula quadrática dá as raízes por
z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b, c são os coeficientes. Aqui temos a=1, b=-2, c=2. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Explicação: \Delta indica a natureza das raízes. Como \Delta<0, as raízes não são números reais; são complexas. A raiz quadrada de -4 é \sqrt{-4}=2i, onde i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores encontrados:
z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)\pm 2i}{2\cdot1}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i.
Portanto as soluções da equação z^{2}-2z+2=0 são \displaystyle z=1+i e \displaystyle z=1-i. Podemos então fatorar o denominador como
z^{2}-2z+2=(z-(1+i))(z-(1-i)),
o que confirma que os únicos pontos onde o denominador é zero são exatamente 1+i e 1-i.

Passo 5

Conclusão sobre o domínio: como a função só é indefinida onde o denominador se anula, o domínio máximo (no sentido mais geral, tomando z como número complexo) é o plano complexo com esses dois pontos removidos. Observação extra útil para a prova: se por acaso a variável z for restrita aos números reais, note que as raízes encontradas não são reais, então o denominador nunca se anula em \mathbb{R} e o domínio real seria todo \mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{C}\setminus\{1+i,\,1-i\}

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