Determine as partes real e imaginária das seguintes funções:
f(z)=\frac{z+2}{z-2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar as partes real e imaginária da função complexa \displaystyle f(z)=\frac{z+2}{z-2}.
Informações dadas e convenções que vamos usar:
  • z é um número complexo genérico. Vamos escrever z na forma cartesiana \displaystyle z=x+iy, em que x e y são números reais.
  • A função é considerada para z\neq 2 (ou seja, para (x,y)\neq(2,0)), porque o denominador não pode ser zero.
  • Nosso objetivo: encontrar duas funções reais u(x,y) e v(x,y) tais que
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y).
Não vamos resolver ainda — só listei o que é pedido e as informações fornecidas.

Passo 2

Estratégia (explicando a ideia como se estivéssemos juntos na prova): para separar parte real e imaginária de uma fração complexa, escrevemos numerador e denominador com x e y e multiplicamos por o conjugado do denominador. Isso “racionaliza” o denominador, transformando-o em um número real, e daí conseguimos identificar claramente parte real e imaginária.
Lembrete prático sobre conjugado e divisão:
  • Se temos \displaystyle \frac{a+ib}{c+id}, multiplicamos numerador e denominador por \displaystyle c-id. O denominador vira \displaystyle c^2+d^2 (real) porque (c+id)(c-id)=c^2+d^2.
  • Aqui aplicamos isso com a+ib sendo o numerador e c+id o denominador após substituirmos z=x+iy.

Passo 3

Substituímos z=x+iy na expressão:
z+2=(x+2)+i y, \qquad z-2=(x-2)+i y.
Multiplicamos numerador e denominador por o conjugado de z-2, que é (x-2)-i y. Assim:
f(z)=\frac{(x+2)+i y}{(x-2)+i y}\cdot\frac{(x-2)-i y}{(x-2)-i y} =\frac{\big((x+2)+i y\big)\big((x-2)-i y\big)}{(x-2)^2+y^2}.

Passo 4

Agora expandimos o numerador passo a passo (vou mostrar cada termo para ficar bem claro):
\big((x+2)+i y\big)\big((x-2)-i y\big)
Multiplicando termo a termo:
  • (x+2)(x-2)=x^2-4.
  • (x+2)(-i y)=-i y(x+2).
  • i y (x-2)=i y(x-2).
  • i y \cdot (-i y) = -i^2 y^2 = y^2 (porque i^2=-1).
Somando tudo:
\text{numerador} = x^2-4 + y^2 \;+\; \big(-i y(x+2)+i y(x-2)\big).
Agrupando a parte imaginária:
-i y(x+2)+i y(x-2)=i y\big((x-2)-(x+2)\big)=i y(-4)=-4i y.
Portanto o numerador fica
x^2+y^2-4 \;-\;4i y.

Passo 5

Dividindo pelo denominador real (x-2)^2+y^2 obtemos
f(z)=\frac{x^2+y^2-4}{(x-2)^2+y^2}\;+\;i\cdot\frac{-4y}{(x-2)^2+y^2}.
Assim identificamos as partes real e imaginária:
  • parte real u(x,y)=\displaystyle \frac{x^2+y^2-4}{(x-2)^2+y^2},
  • parte imaginária v(x,y)=\displaystyle \frac{-4y}{(x-2)^2+y^2}.
Observação rápida: o denominador (x-2)^2+y^2 é sempre não negativo e só vale zero quando (x,y)=(2,0), que é justamente o ponto excluído z=2.

Resposta

Parte real: \displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}-4}{(x-2)^{2}+y^{2}}
Parte imaginária: \displaystyle \frac{-4y}{(x-2)^{2}+y^{2}}

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