Determine as partes real e imaginária das seguintes funções:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar as partes real e imaginária da função complexa
.
Informações dadas e convenções que vamos usar:
-
é um número complexo genérico. Vamos escrever na forma cartesiana , em que e são números reais. - A função é considerada para
(ou seja, para ), porque o denominador não pode ser zero. - Nosso objetivo: encontrar duas funções reais
e tais que
Não vamos resolver ainda — só listei o que é pedido e as informações fornecidas.
Passo 2
Estratégia (explicando a ideia como se estivéssemos juntos na prova): para separar parte real e imaginária de uma fração complexa, escrevemos numerador e denominador com
e
e multiplicamos por o conjugado do denominador. Isso “racionaliza” o denominador, transformando-o em um número real, e daí conseguimos identificar claramente parte real e imaginária.
Lembrete prático sobre conjugado e divisão:
- Se temos
, multiplicamos numerador e denominador por . O denominador vira (real) porque . - Aqui aplicamos isso com
sendo o numerador e o denominador após substituirmos .
Passo 3
Substituímos
na expressão:
Multiplicamos numerador e denominador por o conjugado de
, que é
. Assim:
Passo 4
Agora expandimos o numerador passo a passo (vou mostrar cada termo para ficar bem claro):
Multiplicando termo a termo:
-
. -
. -
. -
(porque ).
Somando tudo:
Agrupando a parte imaginária:
Portanto o numerador fica
Passo 5
Dividindo pelo denominador real
obtemos
Assim identificamos as partes real e imaginária:
- parte real
, - parte imaginária
.
Observação rápida: o denominador
é sempre não negativo e só vale zero quando
, que é justamente o ponto excluído
.
Resposta
Parte real:
Parte imaginária:
Parte imaginária: