Determine o domínio das seguintes funções
f(x)=x^{2}+1.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{2}+1 e pede para determinar o domínio dessa função.
Informações relevantes: a expressão depende apenas da operação de elevar x ao quadrado e de somar 1.

Passo 2

O que é domínio? O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função está bem definida (ou seja, faz sentido e resulta num número real, neste contexto). Vou usar a notação \mathrm{Dom}(f) para representar o domínio de f.

Passo 3

Quais operações aparecem em f(x)=x^{2}+1? Temos:
  • a operação de elevar ao quadrado, x\mapsto x^{2}, que é o mesmo que multiplicar x por si mesmo;
  • a operação de somar 1.
Por que isso não restringe x? Para qualquer número real x:
  • o produto x\cdot x é sempre um número real; logo x^{2} está definido para todo x\in\mathbb{R};
  • somar 1 a um número real também sempre produz um número real.
Portanto não há nenhum valor de x que torne a expressão impossível (não há divisão por zero, não há raiz quadrada de número negativo, não há logaritmo de número não positivo, etc.). Essas são as principais fontes de restrição em outros tipos de funções, mas não aparecem aqui.

Passo 4

Conclusão: todos os números reais são permitidos como entrada da função f(x)=x^{2}+1. Em notação de conjunto e em notação de intervalo isso fica:
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty).
Como reforço rápido: exemplos contrastantes (só para fixar a ideia) — a função g(x)=\dfrac{1}{x} tem domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} por causa da divisão por zero; a função h(x)=\sqrt{x} tem domínio [0,\infty) por causa da raiz quadrada em \mathbb{R}.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty)

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