Problema 18 (sistema com sela). Considere
\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}, \quad A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right]
(a) Encontre os autovalores. (b) Mostre que um é positivo e o outro é negativo. (c) Classifique a origem como sela. (d) Esboce o retrato de fase indicando os eixos estável e instável.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de dimensão 2
\mathbf{x}' = A\mathbf{x},\qquad A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
As perguntas são, separadamente:
(a) Encontrar os autovalores (autovalores = valores de \lambda tais que existe vetor não-nulo \mathbf{v} com A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}).
(b) Mostrar que um autovalor é positivo e o outro é negativo.
(c) Classificar a origem (querem saber que tipo de ponto de equilíbrio é a origem).
(d) Esboçar o retrato de fase indicando os eixos estável e instável (ou seja, indicar as direções próprias e como as soluções se comportam nelas).
Informações relevantes do enunciado: a matriz A é diagonal com entradas 2 e -1 na diagonal. Não há mais dados externos.]

Passo 2

Vamos lembrar a definição e a fórmula para encontrar autovalores. Um número \lambda é autovalor de A se e somente se a matriz A-\lambda I for singular (determinante zero). O determinante dá o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=0.
Aqui I é a matriz identidade 2\times2. Vou calcular esse determinante explicitamente para a nossa A.

Passo 3

Escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 0\\[4pt]0 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz diagonal é o produto das entradas diagonais. Portanto o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-1-\lambda).
Para achar os autovalores, imponho
(2-\lambda)(-1-\lambda)=0.
As soluções dessa equação são os autovalores.]

Passo 4

Resolvo cada fator igual a zero:
2-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=2,
-1-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1.
Logo os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=-1. (Isto responde a parte (a).)

Passo 5

Agora explico por que um é positivo e o outro negativo: calculamos explicitamente \lambda_1=2 que satisfaz \lambda_1>0 e \lambda_2=-1 que satisfaz \lambda_2<0. Assim já temos demonstrado (b). Vou também conectar isso ao comportamento temporal das soluções.
Dado um autovalor \lambda com autovetor associado \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, a função \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} é solução do sistema. Se \lambda>0 então e^{\lambda t} cresce exponencialmente quando t\to+\infty (direção instável); se \lambda<0 então e^{\lambda t} decai quando t\to+\infty (direção estável).

Passo 6

Vamos achar agora os autovetores correspondentes para identificar as direções estável e instável. Começo com \lambda_1=2. Resolvendo (A-2I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
A-2I=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}.
A equação matricial dá o sistema escalar
0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 =0,\qquad 0\cdot v_1 -3 v_2 =0.
Da segunda equação segue v_2=0. O primeiro componente v_1 é livre (pode ser qualquer número não-nulo para obter vetor não-nulo). Escolhemos o autovetor simples
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Assim a direção associada a \lambda_1=2 é o eixo x (o eixo horizontal).]

Passo 7

Agora \lambda_2=-1. Resolvendo (A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
A+I=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema
3 v_1 + 0\cdot v_2 =0,\qquad 0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 =0.
Da primeira equação segue v_1=0. O segundo componente v_2 é livre; escolhemos o autovetor
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto a direção associada a \lambda_2=-1 é o eixo y (o eixo vertical).]

Passo 8

Escrevo a solução geral do sistema por combinação linear das soluções fundamentais e^{\lambda t}\mathbf{v}. Assim
\mathbf{x}(t)=c_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} + c_2 e^{-t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},
onde c_1 e c_2 são constantes determinadas pela condição inicial \mathbf{x}(0)=(c_1,c_2)^T. Essa forma deixa claro o comportamento:
  • Termo com e^{2t} cresce exponencialmente quando t\to+\infty: direção instável (eixo x).
  • Termo com e^{-t} decai exponencialmente quando t\to+\infty: direção estável (eixo y).]

Passo 9

Classificação da origem: como existe um autovalor positivo e outro negativo, a origem é um ponto de sela (saddle). Explicação didática: uma sela ocorre quando em algumas direções as soluções vão para fora (instáveis) e em outras vão para dentro (estáveis) quando t\to+\infty. Aqui o x-eixo é a variedade instável e o y-eixo é a variedade estável. Isso responde (c).

Passo 10

Esboço do retrato de fase (descrição prática para desenhar na prova):
  • Desenhe os eixos coordenados padrão.
  • Marque a direção instável: o eixo x (vetor (1,0)). Nas duas semi-retas do eixo x coloque setas apontando para fora do origem (para a direita no semi-eixo x>0 e para a esquerda no semi-eixo x<0), porque soluções puramente sobre o eixo x crescem em módulo quando t aumenta.
  • Marque a direção estável: o eixo y (vetor (0,1)). Nas duas semi-retas do eixo y coloque setas apontando para o origem (para baixo no semi-eixo y>0 e para cima no semi-eixo y<0), porque soluções puramente sobre o eixo y decaem para a origem quando t aumenta.
  • Trajetórias fora dos eixos: são combinações dos dois termos. Para t\to+\infty a componente e^{2t} domina (se c_1\neq0), então as trajetórias tendem a alinhar-se e a ir para infinito seguindo o eixo x (direção instável). Para t\to-\infty a componente e^{-t} domina, então as trajetórias saem do infinito seguindo o eixo y no passado. Em termos práticos, as curvas partem em direção ao eixo y quando olhamos para t\to-\infty e, ao avançar no tempo, são “expulsas” em direção ao eixo x.
  • Exemplo numérico rápido: com \mathbf{x}(0)=(1,1) temos \mathbf{x}(t)=(e^{2t},e^{-t}). Para t pequeno positivo o segundo componente já é pequeno enquanto o primeiro cresce rápido, então a trajetória curva e vai para a direita (seguindo o eixo x).

Resposta

(a) \lambda_1=2,\\ \lambda_2=-1
(b) \lambda_1=2>0 (positivo) e \lambda_2=-1<0 (negativo)
(c) A origem é uma sela (saddle)
(d) Eixo instável: eixo x (direção (1,0)), setas apontando para fora da origem ao avançar no tempo; Eixo estável: eixo y (direção (0,1)), setas apontando para a origem ao avançar no tempo. Trajetórias gerais são combinações c_1 e^{2t}(1,0)^T+c_2 e^{-t}(0,1)^T, que para t\to+\infty alinham-se e vão ao infinito seguindo o eixo x.

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