Determine o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.
Informações fornecidas:
- A função é a raiz quarta de
. - Precisa-se encontrar todos os valores reais de
para os quais a expressão está bem definida (domínio).
Passo 2
Conceito importante (aulas rápidas, sem enrolação): quando aparece uma raiz de índice par (como raiz quadrada, raiz quarta, etc.), a quantidade dentro da raiz — chamada radicando — tem de ser maior ou igual a zero para que o resultado seja um número real. Em símbolos:
Exemplo rápido e concreto:
enquanto
Aplicando isso ao problema: devemos ter
Passo 3
Resolver a desigualdade
. Primeiro fatoramos o polinômio:
Portanto a desigualdade fica
Passo 4
Método prático (análise de sinais): identifique os pontos onde o produto se anula — são as raízes dos fatores:
Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Em cada intervalo o sinal de cada fator é constante, então avalia-se o sinal do produto:
- Para
: (negativo) e (negativo) ⇒ produto positivo. - Para
: (positivo) e (negativo) ⇒ produto negativo. - Para
: (positivo) e (positivo) ⇒ produto positivo.
Como buscamos
, aceitamos os intervalos onde o produto é positivo e também os pontos onde o produto é zero (ou seja,
e
).
Passo 5
Conclusão da resolução da desigualdade: os
que satisfazem
são aqueles em que
ou
. Esses valores tornam o radicando não negativo, então a raiz quarta está bem definida (número real).
Um lembrete prático: na prova faça o esboço mental da reta com os pontos críticos, marque os sinais dos fatores e combine-os — é rápido e seguro.