Determine o domínio das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[4]{x^{2}-6 x}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função \,f(x)=\sqrt[4]{x^{2}-6x}\,.
Informações fornecidas:
  • A função é a raiz quarta de \,x^{2}-6x.
  • Precisa-se encontrar todos os valores reais de x para os quais a expressão está bem definida (domínio).

Passo 2

Conceito importante (aulas rápidas, sem enrolação): quando aparece uma raiz de índice par (como raiz quadrada, raiz quarta, etc.), a quantidade dentro da raiz — chamada radicando — tem de ser maior ou igual a zero para que o resultado seja um número real. Em símbolos:
\text{Se a raiz é de índice par, então exigimos } \text{radicando} \ge 0.éíã
Exemplo rápido e concreto:
\sqrt[4]{16}=2\quad\text{está definida, pois }16\ge0,á
enquanto
\sqrt[4]{-16}\quad\text{não é um número real (pois }-16<0\text{).}ãéú
Aplicando isso ao problema: devemos ter
x^{2}-6x \ge 0.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,x^{2}-6x \ge 0\,. Primeiro fatoramos o polinômio:
x^{2}-6x = x(x-6).
Portanto a desigualdade fica
x(x-6)\ge0.

Passo 4

Método prático (análise de sinais): identifique os pontos onde o produto se anula — são as raízes dos fatores:
x=0\quad\text{e}\quad x=6.
Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,6) e (6,\infty). Em cada intervalo o sinal de cada fator é constante, então avalia-se o sinal do produto:
  • Para x<0: x<0 (negativo) e x-6<0 (negativo) ⇒ produto positivo.
  • Para 0<x<6: x>0 (positivo) e x-6<0 (negativo) ⇒ produto negativo.
  • Para x>6: x>0 (positivo) e x-6>0 (positivo) ⇒ produto positivo.
Como buscamos \ge 0, aceitamos os intervalos onde o produto é positivo e também os pontos onde o produto é zero (ou seja, x=0 e x=6).

Passo 5

Conclusão da resolução da desigualdade: os x que satisfazem \,x(x-6)\ge0\, são aqueles em que x\le 0 ou x\ge 6. Esses valores tornam o radicando não negativo, então a raiz quarta está bem definida (número real).
Um lembrete prático: na prova faça o esboço mental da reta com os pontos críticos, marque os sinais dos fatores e combine-os — é rápido e seguro.

Resposta

(-\infty,0]\cup[6,\infty)

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