Calcular a derivada das seguintes funções:
(d) f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)
e pede para calcular a sua derivada f'(x).
Informações úteis que já temos: a função é produto de três fatores lineares simples. A pergunta é única: encontrar f'(x).

Passo 2

Vamos rever uma regra básica que vamos usar: a regra do produto para derivadas. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a regra do produto diz
\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x, e v'(x) é a derivada de v em relação a x. A ideia intuitiva é: quando multiplicamos duas funções, a taxa de variação do produto recebe contribuição de como varia cada uma, mantendo a outra fixa, e somamos essas contribuições.

Passo 3

Agora generalizamos para o produto de três fatores. Se u(x), v(x) e w(x) são funções, então
\bigl(u(x)\,v(x)\,w(x)\bigr)'=u'(x)\,v(x)\,w(x)+u(x)\,v'(x)\,w(x)+u(x)\,v(x)\,w'(x).
Explicação rápida: diferenciando o produto de três fatores, somamos três termos; em cada termo diferenciamos apenas um dos fatores (o que produz sua derivada) e deixamos os outros dois intactos. Isso é consequência iterada da regra do produto para dois fatores.

Passo 4

Identificamos os três fatores da nossa função:
u(x)=x+1,\qquad v(x)=x+2,\qquad w(x)=x+3.
Agora calculamos as derivadas de cada fator (essas são fáceis porque cada fator é uma reta):
u'(x)=1,\qquad v'(x)=1,\qquad w'(x)=1.
Explicando: a derivada de x+c é 1 para qualquer constante c, porque a inclinação da reta é 1.

Passo 5

Aplicando a fórmula do passo 3 com estes u,v,w e suas derivadas, obtemos
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x)+u(x)\,v'(x)\,w(x)+u(x)\,v(x)\,w'(x).
Substituindo u,v,w e u'=v'=w'=1,
f'(x)=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2).
Cada termo corresponde a diferenciar um dos fatores e multiplicar pelos outros dois.

Passo 6

Agora vamos simplificar somando e expandindo os produtos. Primeiro expandimos cada termo:
(x+2)(x+3)=x^2+5x+6,
(x+1)(x+3)=x^2+4x+3,
(x+1)(x+2)=x^2+3x+2.
Somando os três resultados:
f'(x)=(x^2+5x+6)+(x^2+4x+3)+(x^2+3x+2).

Passo 7

Agora somamos coeficientes semelhantes: para x^2 temos 1+1+1=3; para x temos 5+4+3=12; para constantes temos 6+3+2=11. Portanto
f'(x)=3x^2+12x+11.

Resposta

f'(x)=3x^2+12x+11

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