Calcular a derivada das seguintes funções:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a sua derivada
.
Informações úteis que já temos: a função é produto de três fatores lineares simples. A pergunta é única: encontrar .
Informações úteis que já temos: a função é produto de três fatores lineares simples. A pergunta é única: encontrar
Passo 2
Vamos rever uma regra básica que vamos usar: a regra do produto para derivadas. Se tivermos duas funções
e
, a regra do produto diz
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
. A ideia intuitiva é: quando multiplicamos duas funções, a taxa de variação do produto recebe contribuição de como varia cada uma, mantendo a outra fixa, e somamos essas contribuições.
Passo 3
Agora generalizamos para o produto de três fatores. Se
,
e
são funções, então
Explicação rápida: diferenciando o produto de três fatores, somamos três termos; em cada termo diferenciamos apenas um dos fatores (o que produz sua derivada) e deixamos os outros dois intactos. Isso é consequência iterada da regra do produto para dois fatores.
Passo 4
Identificamos os três fatores da nossa função:
Agora calculamos as derivadas de cada fator (essas são fáceis porque cada fator é uma reta):
Explicando: a derivada de
é
para qualquer constante
, porque a inclinação da reta é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula do passo 3 com estes
e suas derivadas, obtemos
Substituindo
e
,
Cada termo corresponde a diferenciar um dos fatores e multiplicar pelos outros dois.
Passo 6
Agora vamos simplificar somando e expandindo os produtos. Primeiro expandimos cada termo:
Somando os três resultados:
Passo 7
Agora somamos coeficientes semelhantes: para
temos
; para
temos
; para constantes temos
. Portanto