Determine o domínio das seguintes funções:
g(x)=\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função \,g(x)=\sqrt{x^{2}+1}\,.
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é \,x^{2}+1\, e a função é uma raiz quadrada (valor real principal). A pergunta é exatamente: para quais valores de x a expressão \sqrt{x^{2}+1} está bem definida como número real?

Passo 2

Entendendo o que significa “domínio” aqui: o domínio de uma função real é o conjunto de todos os x reais para os quais a expressão da função produz um número real. No caso de uma raiz quadrada real, a condição necessária e suficiente para a existência do valor real é que o radicando seja não negativo. Ou seja, para \sqrt{\cdot} existir como número real precisamos ter
\text{radicando}\ge 0.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso radicando: precisamos de
x^{2}+1 \ge 0.
Agora uma observação importante (fácil, mas fundamental): para qualquer número real \,x\in\mathbb{R}\, vale que \,x^{2}\ge 0\, porque o quadrado de um real nunca é negativo. Logo, somando 1 a x^{2} temos
x^{2}+1 \ge 0+1 = 1.
Portanto \,x^{2}+1\ge 1>0\, para todo x\in\mathbb{R}. Em palavras: o radicando é sempre positivo (nunca fica negativo ou igual a zero? aqui é sempre maior ou igual a 1, então sempre positivo).

Passo 4

Conclusão do raciocínio: como para qualquer x\in\mathbb{R} o radicando \,x^{2}+1\, é não negativo (na verdade estritamente positivo), a raiz quadrada existe para todo número real x. Não há restrição adicional (como divisão por zero ou logaritmo) que limite o conjunto de x.

Passo 5

Exemplos para fixar a ideia: \,g(0)=\sqrt{0^{2}+1}=\sqrt{1}=1\,, \,g(1)=\sqrt{1^{2}+1}=\sqrt{2}\,, \,g(-3)=\sqrt{(-3)^{2}+1}=\sqrt{10}\,. Todos esses valores estão bem definidos como números reais.

Resposta

\mathbb{R}

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