Determine o domínio das seguintes funções:
p(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função
p(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}
e pede o domínio dessa função, ou seja, o conjunto de todos os valores de x para os quais p(x) está bem definida. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é \sqrt{x+2}, então há a restrição de que o radicando deve ser não negativo.
  • O denominador é x-1, então não pode ser zero.
    Nada mais foi dado.

Passo 2

Analisando a restrição do radicando: para que \sqrt{x+2} exista (como número real) é preciso que
x+2 \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade: subtraindo 2 dos dois lados obtemos
x \ge -2.
Em notação de intervalo, isso corresponde a
[-2,\infty).
Observação didática: a raiz quadrada real está definida somente para radicandos não negativos; o caso x=-2 é permitido porque \sqrt{0}=0.

Passo 3

Agora a restrição do denominador: precisamos evitar divisão por zero, então
x-1 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 1.
Isso exclui o ponto x=1 mesmo que satisfaça a desigualdade do passo anterior.

Passo 4

O domínio da função é a interseção dos valores permitidos pelo numerador com os permitidos pelo denominador. Ou seja, todos os x tais que
x\in[-2,\infty)\quad\text{e}\quad x\neq1.
Intersecando e removendo o ponto proibido, obtemos o domínio em notação de intervalo:
[-2,1)\cup(1,\infty).

Passo 5

Verificação com exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Para x=-2: \sqrt{-2+2}=\sqrt{0}=0 e x-1=-3\neq0. Logo x=-2 é válido.
  • Para x=0: \sqrt{0+2}=\sqrt{2} e 0-1=-1\neq0. Válido.
  • Para x=1: denominador 1-1=0 — inválido (divisão por zero).
  • Para x=2: \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2 e 2-1=1\neq0. Válido.

Resposta

\mathrm{Dom}(p)=[-2,1)\cup(1,\infty)

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