Seja \mathrm{g}(\mathrm{x}) uma função real, derivável até a 3^{\mathrm{a}} ordem para todo x real, tal que \mathrm{g}(0)=\mathrm{g}^{\prime}(0)=0 e g^{\prime \prime}(0)=16. Se f(x) é uma função real definida por f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{g(x)}{2 x} \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 \text { se } x=0\end{array}\right., então f^{\prime}(0) é igual a:
a) 16
b) 12
c) 8
d) 4
e) 0
Passo 1
O enunciado e os dados úteis são:
A função g(x)\) é real e tem derivadas até a terceira ordem para todo \(x\in\mathbb{R}\).
- Valores em \(0\): \(g(0)=0,\; g'(0)=0,\; g''(0)=16\).
- A função \(f(x)\) é definida por
\[f(x)=\begin{cases} \dfrac{g(x)}{2x}, & x\neq 0,\\[6pt] 0, & x=0. \end{cases}
O que o problema pede: calcular (f’(0)].]
Passo 2
Escrevendo a definição de derivada no ponto 0: para qualquer função f,
f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.
Aqui f(0)=0, então
f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}.
Como para x\neq0 vale f(x)=\dfrac{g(x)}{2x}, temos