Seja \mathrm{g}(\mathrm{x}) uma função real, derivável até a 3^{\mathrm{a}} ordem para todo x real, tal que \mathrm{g}(0)=\mathrm{g}^{\prime}(0)=0 e g^{\prime \prime}(0)=16. Se f(x) é uma função real definida por f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{g(x)}{2 x} \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 \text { se } x=0\end{array}\right., então f^{\prime}(0) é igual a:
a) 16
b) 12
c) 8
d) 4
e) 0

Passo 1

O enunciado e os dados úteis são:
  • A função g(x)\) é real e tem derivadas até a terceira ordem para todo \(x\in\mathbb{R}\). - Valores em \(0\): \(g(0)=0,\; g'(0)=0,\; g''(0)=16\). - A função \(f(x)\) é definida por \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{g(x)}{2x}, & x\neq 0,\\[6pt] 0, & x=0. \end{cases}
  • O que o problema pede: calcular (f’(0)].]

Passo 2

Escrevendo a definição de derivada no ponto 0: para qualquer função f,
f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}.
Aqui f(0)=0, então
f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}.
Como para x\neq0 vale f(x)=\dfrac{g(x)}{2x}, temos
f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{g(x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{2x^{2}}.
Portanto precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{2x^{2}}.

Passo 3

Como g é derivável até a terceira ordem em 0, podemos usar a expansão de Taylor (Maclaurin) até a ordem 3:
g(x)=g(0)+g'(0)x+\frac{g''(0)}{2!}x^{2}+\frac{g^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+o(x^{3}),
onde o(x^{3}) significa "um termo que, dividido por x^{3}, tende a 0 quando x\to0". Substituindo os valores conhecidos g(0)=0 e g'(0)=0, obtemos
g(x)=\frac{g''(0)}{2}x^{2}+\frac{g^{(3)}(0)}{6}x^{3}+o(x^{3}).

Passo 4

Dividindo a expressão de g(x) por 2x^{2} (lembrando que estamos interessados no limite quando x\to0, então podemos fazer a divisão para x\neq0):
\frac{g(x)}{2x^{2}}=\frac{1}{2x^{2}}\left(\frac{g''(0)}{2}x^{2}+\frac{g^{(3)}(0)}{6}x^{3}+o(x^{3})\right).
Fazendo a distribuição e simplificando os potências de x,
\frac{g(x)}{2x^{2}}=\frac{g''(0)}{4}+\frac{g^{(3)}(0)}{12}x+\frac{o(x^{3})}{2x^{2}}.

Passo 5

Analisando os termos no lado direito quando x\to0:
  • \dfrac{g''(0)}{4} é constante.
  • \dfrac{g^{(3)}(0)}{12}x\to 0.
  • \dfrac{o(x^{3})}{2x^{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot\frac{o(x^{3})}{x^{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot o(x)\to 0.
Logo o limite é simplesmente o termo constante:
\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{2x^{2}}=\frac{g''(0)}{4}.
Como g''(0)=16, temos
f'(0)=\frac{16}{4}=4.

Resposta

4

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