Determine o domínio das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função
. Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de
para os quais a função está definida. Vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real. Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, temos duas condições:
Passo 3
Vamos resolver a primeira condição:
. Para facilitar, vamos fatorar o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem essa inequação. Vamos identificar os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador é zero:
-
→ -
→ -
(denominador)
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver onde a expressão é positiva ou negativa:
-
Intervalo
: - Escolha um valor, por exemplo,
:
→ Negativo
- Escolha um valor, por exemplo,
-
Intervalo
: - Escolha
:
→ Positivo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
→ Negativo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
→ Positivo
- Escolha
Passo 6
Agora, queremos onde a expressão é maior ou igual a zero. Observando os intervalos:
-
→ Positivo -
→ Positivo
Também devemos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero:
- Quando
ou , o numerador é zero, então , o que é válido.
Não podemos incluir
porque o denominador seria zero, o que não é permitido.
Resposta
O domínio da função é
.