Determine o domínio das seguintes funções:
y = raiz((x^2 - 4 x + 3) / x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função . Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de para os quais a função está definida. Vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real. Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, temos duas condições:

Passo 3

Vamos resolver a primeira condição: . Para facilitar, vamos fatorar o numerador:
Então, a inequação fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem essa inequação. Vamos identificar os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador é zero:
  • (denominador)
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver onde a expressão é positiva ou negativa:
  1. Intervalo :
    • Escolha um valor, por exemplo, :
      → Negativo
  2. Intervalo :
    • Escolha :
      → Positivo
  3. Intervalo :
    • Escolha :
      → Negativo
  4. Intervalo :
    • Escolha :
      → Positivo

Passo 6

Agora, queremos onde a expressão é maior ou igual a zero. Observando os intervalos:
  • → Positivo
  • → Positivo
Também devemos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero:
  • Quando ou , o numerador é zero, então , o que é válido.
Não podemos incluir porque o denominador seria zero, o que não é permitido.

Resposta

O domínio da função é .

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