Determine duas soluções L.I. da EDO
y^{\prime \prime}-f(x) y^{\prime}+[f(x)-1] y=0
em que f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} é qualquer função contínua.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-f(x)y'+[f(x)-1]y=0,
onde f:(a,b)\to\mathbb{R} é qualquer função contínua, e pede: determinar duas soluções linearmente independentes (L.I.) dessa EDO.
Informações importantes fornecidas:
  • A EDO é linear, homogênea e de segunda ordem.
  • A função f(x) é contínua em (a,b) (logo integrais de f e exponenciais de tais integrais fazem sentido).
  • Deve ser encontrada uma base de soluções (duas soluções L.I.) que valham em (a,b).

Passo 2

Tentar uma solução simples que não dependa de conhecimento prévio de f. Teste a função
y_1(x)=e^{x}.
Calcule as derivadas:
y_1'(x)=e^{x},\qquad y_1''(x)=e^{x}.
Substituindo na EDO:
y_1''-f(x)y_1'+[f(x)-1]y_1 = e^{x}-f(x)e^{x}+[f(x)-1]e^{x}.
Agrupando os termos:
e^{x}-f(x)e^{x}+f(x)e^{x}-e^{x}=0.
Portanto y_1(x)=e^{x} é solução para qualquer função contínua f. Isso é ótimo: já temos uma solução explícita e simples.

Passo 3

Agora precisamos de uma segunda solução y_2 L.I. de y_1. Usamos o método de redução de ordem: procuramos uma solução da forma
y(x)=u(x)e^{x},
onde u é uma função desconhecida. Calculam-se derivadas:
y'=u'e^{x}+ue^{x},\qquad y''=u''e^{x}+2u'e^{x}+ue^{x}.
Substituindo na EDO:
(u''e^{x}+2u'e^{x}+ue^{x})-f(x)(u'e^{x}+ue^{x})+[f(x)-1]ue^{x}=0.
Fatorando e^{x} e simplificando os termos em u (eles se cancelam), obtém-se
u''+(2-f(x))u'=0.
Isto é uma EDO de primeira ordem para v=u':
v'+(2-f(x))v=0.

Passo 4

Resolver a EDO de primeira ordem para v. Escreve-se
\frac{dv}{dx}=(f(x)-2)v.
Separando variáveis:
\frac{dv}{v}=(f(x)-2)\,dx.
Integrando (escolhendo uma constante de integração C_1):
\ln|v|=\int (f(x)-2)\,dx + C_1.
Definindo uma primitiva de f por
F(x)=\int_{x_0}^{x} f(s)\,ds
com x_0\in(a,b) fixo, obtemos
v(x)=u'(x)=C_1 e^{F(x)-2x}.
Aqui foi usada a propriedade \int (f(x)-2)\,dx=\int f(x)\,dx -2x = F(x)-2x (mais uma constante que fica absorvida em C_1).

Passo 5

Integrar para obter u. Tem-se
u(x)=C_1\int_{x_0}^{x} e^{F(t)-2t}\,dt + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Logo a solução geral obtida por y=u e^{x} é
y(x)=C_2 e^{x} + C_1 e^{x}\int_{x_0}^{x} e^{F(t)-2t}\,dt.
Isto mostra explicitamente duas soluções independentes (colocando C_1=0,C_2=1 e C_1=1,C_2=0):
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=e^{x}\int_{x_0}^{x} e^{F(t)-2t}\,dt,
onde F(t)=\displaystyle\int_{x_0}^{t} f(s)\,ds e x_0 é um ponto fixo em (a,b).

Passo 6

Verificar que y_1 e y_2 são linearmente independentes. Calcule o Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_1' y_2.
Com y_1=e^{x} e y_2=e^{x}u(x) (onde u(x)=\int_{x_0}^{x} e^{F(t)-2t}\,dt), tem-se y_1'=e^{x} e y_2'=e^{x}u+e^{x}u'. Portanto
W(x)=e^{x}\cdot e^{x}(u+u') - e^{x}\cdot e^{x}u = e^{2x}u'.
Mas u'(x)=e^{F(x)-2x}, então
W(x)=e^{2x}\,e^{F(x)-2x}=e^{F(x)}= \exp\!\Big(\int_{x_0}^{x} f(s)\,ds\Big).
Como f é contínua, F é contínua e e^{F(x)}>0 para todo x; portanto W(x)\neq 0 em (a,b). Isso prova que y_1 e y_2 são linearmente independentes em (a,b).

Resposta

y_1(x)=e^{x}
y_2(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x_0}^{x} e^{\displaystyle\int_{x_0}^{t} f(s)\,ds -2t}\,dt, onde x_0\in(a,b) é fixo.

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