em que f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} é qualquer função contínua.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-f(x)y'+[f(x)-1]y=0,
onde f:(a,b)\to\mathbb{R} é qualquer função contínua, e pede: determinar duas soluções linearmente independentes (L.I.) dessa EDO.
Informações importantes fornecidas:
A EDO é linear, homogênea e de segunda ordem.
A função f(x) é contínua em (a,b) (logo integrais de f e exponenciais de tais integrais fazem sentido).
Deve ser encontrada uma base de soluções (duas soluções L.I.) que valham em (a,b).
Passo 2
Tentar uma solução simples que não dependa de conhecimento prévio de f. Teste a função
Como f é contínua, F é contínua e e^{F(x)}>0 para todo x; portanto W(x)\neq 0 em (a,b). Isso prova que y_1 e y_2 são linearmente independentes em (a,b).
Resposta
y_1(x)=e^{x}
y_2(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x_0}^{x} e^{\displaystyle\int_{x_0}^{t} f(s)\,ds -2t}\,dt, onde x_0\in(a,b) é fixo.