Calcule:
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{z}{z^{2}-4 z+1}\right\}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Está dada a função no domínio de z:
X(z)=\frac{z}{z^{2}-4z+1}.
  • O que se pede: calcular a transformada inversa de Z, isto é, encontrar a sequência temporal \;x[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}.
  • Informação útil a observar: o denominador é um polinômio quadrático em z, então a função racional tem dois polos (raízes do denominador) — isso vai aparecer na resolução.

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (aula rápida e prática).
  • A transformada direta e inversa de Z que usamos aqui relaciona séries em potências de z^{-1} com sequências em n. A identidade mais usada é
\frac{1}{1-a z^{-1}} \longleftrightarrow a^{n}u[n],
onde u[n] é o degrau unitário ( u[n]=1 para n\ge0 e u[n]=0 para n<0). Explicando: a expressão do lado esquerdo pode ser expandida como série geométrica
\frac{1}{1-a z^{-1}}=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} z^{-n},
desde que a série convir — isto é, para |z|>|a|. Na prática, se conseguimos escrever X(z) como combinação linear de termos \dfrac{1}{1-a z^{-1}}, então a inversa de Z é a combinação linear das sequências a^{n}u[n].
  • Observação prática: outra forma equivalente é notar que
\frac{z}{z-a}=\frac{1}{1-a z^{-1}},
ou seja, termos do tipo \dfrac{z}{z-a} correspondem a a^{n}u[n] também.

Passo 3

Fatorar o denominador e identificar os polos (conta direta).
  • Vamos achar as raízes de z^{2}-4z+1=0 usando a fórmula quadrática:
z=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}.
  • Simplificando \sqrt{12}=2\sqrt{3}, obtemos as duas raízes (polos)
p_{1}=2+\sqrt{3},\qquad p_{2}=2-\sqrt{3}.
Anote mentalmente: p_{1}>1 (aprox. 3{,}732) e p_{2}<1 (aprox. 0{,}268) — isso ajuda a entender a ROC, mas não é necessário para o cálculo algébrico que faremos.

Passo 4

Escrever X(z) como soma de termos do tipo \dfrac{z}{z-p} (frações parciais), passo-a-passo.
  • Começamos reescrevendo
X(z)=\frac{z}{(z-p_{1})(z-p_{2})}.
Procuramos constantes \alpha e \beta tais que
\frac{z}{(z-p_{1})(z-p_{2})}=\frac{\alpha z}{z-p_{1}}+\frac{\beta z}{z-p_{2}}.
Essa forma é conveniente porque \dfrac{\alpha z}{z-p_{1}}=\alpha\cdot\dfrac{1}{1-p_{1}z^{-1}} se encaixa na identidade do passo anterior.
  • Multiplicando por (z-p_{1})(z-p_{2}) obtemos a igualdade polinomial
z=\alpha z(z-p_{2})+\beta z(z-p_{1}).
Dividindo ambos os lados por z (válido para z\neq0) simplifica para
1=\alpha(z-p_{2})+\beta(z-p_{1}).
  • Essa é uma identidade em z, vale para todo z, então igualamos coeficientes de z e termos constantes. Escrevendo explicitamente:
1=(\alpha+\beta)z - (\alpha p_{2}+\beta p_{1}).
Isso leva ao sistema linear
\alpha+\beta=0, \qquad -(\alpha p_{2}+\beta p_{1})=1.
  • Da primeira equação \beta=-\alpha. Substituindo na segunda:
-(\alpha p_{2}-\alpha p_{1})=1 \quad\Rightarrow\quad -\alpha(p_{2}-p_{1})=1.
Logo
\alpha=\frac{1}{p_{1}-p_{2}},\qquad \beta=-\frac{1}{p_{1}-p_{2}}.
  • Como p_{1}-p_{2}=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}, obtemos os valores numéricos
\alpha=\frac{1}{2\sqrt{3}},\qquad \beta=-\frac{1}{2\sqrt{3}}.

Passo 5

Converter cada fração parcial em sua sequência correspondente e montar x[n].
  • Usando a identidade do passo 2, cada termo \dfrac{\alpha z}{z-p_{1}} corresponde à sequência \alpha p_{1}^{n}u[n], e \dfrac{\beta z}{z-p_{2}} corresponde a \beta p_{2}^{n}u[n], desde que a interpretação seja para a sequência causal (série em potências de z^{-1}).
  • Portanto a sequência inversa é, para n\ge0,
x[n]=\alpha p_{1}^{n}+\beta p_{2}^{n} =\frac{1}{2\sqrt{3}}\bigl((2+\sqrt{3})^{n}-(2-\sqrt{3})^{n}\bigr),
e para n<0 (sequência causal) vale x[n]=0.
  • Como verificação rápida: em n=0 a fórmula dá x[0]=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}(1-1)=0. Se alguém quisesse checar na transformada direta, poderia somar a série \sum_{n=0}^\infty x[n]z^{-n} e recuperar X(z).

Resposta

x[n]=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\bigl((2+\sqrt{3})^{n}-(2-\sqrt{3})^{n}\bigr),\quad n\ge0\n
x[n]=0,\quad n<0

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