Calcule:
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Está dada a função no domínio de
:
- O que se pede: calcular a transformada inversa de Z, isto é, encontrar a sequência temporal
. - Informação útil a observar: o denominador é um polinômio quadrático em
, então a função racional tem dois polos (raízes do denominador) — isso vai aparecer na resolução.
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (aula rápida e prática).
- A transformada direta e inversa de Z que usamos aqui relaciona séries em potências de
com sequências em . A identidade mais usada é
onde
é o degrau unitário (
para
e
para
). Explicando: a expressão do lado esquerdo pode ser expandida como série geométrica
desde que a série convir — isto é, para
. Na prática, se conseguimos escrever
como combinação linear de termos
, então a inversa de Z é a combinação linear das sequências
.
- Observação prática: outra forma equivalente é notar que
ou seja, termos do tipo
correspondem a
também.
Passo 3
Fatorar o denominador e identificar os polos (conta direta).
- Vamos achar as raízes de
usando a fórmula quadrática:
- Simplificando
, obtemos as duas raízes (polos)
Anote mentalmente:
(aprox.
) e
(aprox.
) — isso ajuda a entender a ROC, mas não é necessário para o cálculo algébrico que faremos.
Passo 4
Escrever
como soma de termos do tipo
(frações parciais), passo-a-passo.
- Começamos reescrevendo
Procuramos constantes
e
tais que
Essa forma é conveniente porque
se encaixa na identidade do passo anterior.
- Multiplicando por
obtemos a igualdade polinomial
Dividindo ambos os lados por
(válido para
) simplifica para
- Essa é uma identidade em
, vale para todo , então igualamos coeficientes de e termos constantes. Escrevendo explicitamente:
Isso leva ao sistema linear
- Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
- Como
, obtemos os valores numéricos
Passo 5
Converter cada fração parcial em sua sequência correspondente e montar
.
- Usando a identidade do passo 2, cada termo
corresponde à sequência , e corresponde a , desde que a interpretação seja para a sequência causal (série em potências de ). - Portanto a sequência inversa é, para
,
e para
(sequência causal) vale
.
- Como verificação rápida: em
a fórmula dá . Se alguém quisesse checar na transformada direta, poderia somar a série e recuperar .