Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saida, de uma turbina axial com os seguintes dados:
a) diâmetro externo \mathrm{De}=600 \mathrm{~mm},
b) diâmetro interno \mathrm{Di}=300 \mathrm{~mm},
c) vazão =0,80 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s},
d) rotação n=600 \mathrm{RPM},
e) ângulo construtivo na entrada \beta_{4}=70^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os elementos dos triângulos de velocidade, na entrada e na saída, de uma turbina axial” e fornece os dados abaixo. Vou listar tudo que foi dado, sem resolver ainda.
  • Diâmetro externo: D_{e}=600\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro interno: D_{i}=300\\ \mathrm{mm}.
  • Vazão volumétrica: Q=0,80\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • Rotação: n=600\\ \mathrm{RPM}.
  • Ângulo construtivo na entrada: \beta_{4}=70^\circ.
Observações importantes que ficam explícitas no enunciado (para usarmos depois): o problema pede os elementos dos triângulos de velocidade na entrada (estação 4, com \beta_{4} dado) e na saída (estação 5). Ainda não se deu informação explícita sobre a velocidade tangencial absoluta de saída c_{u5}; como isso é comum em exercícios, adotarei a hipótese usual e simples para realizar o cálculo (ver explicação e justificativa nos passos seguintes).

Passo 2

Conversão de unidades e definição de quantidades geométricas básicas (explico por que fazemos cada passo).
  • Converter os diâmetros para metros:
    D_{e}=600\\ \mathrm{mm}=0,6\\ \mathrm{m},\qquad D_{i}=300\\ \mathrm{mm}=0,3\\ \mathrm{m}.
    Fiz isso porque todas as fórmulas usam unidades do SI (metros, segundos).
  • Raios e raio médio (utilizado para avaliar a velocidade periférica média das pás):
    R_{e}=\frac{D_{e}}{2}=0,3\\ \mathrm{m},\qquad R_{i}=\frac{D_{i}}{2}=0,15\\ \mathrm{m},
r_{m}=\frac{R_{e}+R_{i}}{2}=\frac{0,3+0,15}{2}=0,225\\ \mathrm{m}.
Explicação: em máquinas axiais costumamos usar o raio médio r_m para estimar a velocidade periférica u=\omega r_m, porque a velocidade varia com o raio; o valor médio é uma boa aproximação de projeto.

Passo 3

Velocidade angular e velocidade periférica (ensino a fórmula e a interpretacão).
  • A rotação n em RPM converte-se para velocidade angular \omega em rad/s pela fórmula
    \omega = 2\pi\frac{n}{60}.
    Aqui n é em rotações por minuto; multiplicamos por 2\pi para passar a radianos e dividimos por 60 para segundos.
    Substituindo:
    \omega = 2\pi\frac{600}{60}=20\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 62{,}832\\ \mathrm{rad/s}.
  • A velocidade periférica (linear) das pás no raio médio é
    u=\omega\, r_{m}.
    Isso representa a velocidade tangencial da pá no raio médio. Substituindo:
    u = 62{,}832\cdot 0,225 \approx 14{,}14\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo da velocidade axial média (a componente axial do escoamento) — área do duto anular e c_a.
  • Área da seção anular (entre os diâmetros) é
    A=\frac{\pi}{4}\left(D_{e}^{2}-D_{i}^{2}\right).
    Substituindo D_e=0,6\\ \mathrm{m} e D_i=0,3\\ \mathrm{m}:
    A=\frac{\pi}{4}\left(0{,}6^{2}-0{,}3^{2}\right)=\frac{\pi}{4}(0{,}36-0{,}09)=0{,}0675\pi\\ \mathrm{m}^{2}\approx 0{,}21206\\ \mathrm{m}^{2}.
  • A componente axial da velocidade média c_{a} é dada pela relação de continuidade
    c_{a}=\frac{Q}{A},
    onde Q é a vazão volumétrica. Assim
    c_{a}=\frac{0{,}80}{0{,}21206}\approx 3{,}77\\ \mathrm{m/s}.
    Interpretação: c_a é a velocidade com que o fluido atravessa a seção axialmente; será o mesmo (aprox.) em entrada e saída se desprezarmos compressibilidade e variação de área.

Passo 5

Relembrando a geometria dos triângulos de velocidade e as fórmulas que vamos usar (muito didático).
  • Vetores envolvidos:
    • \mathbf{c}: velocidade absoluta do fluido (componentes c_a axial e c_u tangencial).
    • \mathbf{u}: velocidade da pá (somente tangencial, módulo u).
    • \mathbf{w}=\mathbf{c}-\mathbf{u}: velocidade relativa do fluido em relação à pá (componentes w_a=c_a e w_u=c_u-u).
  • Componentes horizontais (axial) e tangenciais:
    c_a = \text{componente axial comum},
w_u = c_u - u,\qquad c_u = w_u + u.
  • As magnitudes:
    w=\sqrt{c_a^2 + w_u^2},\qquad c=\sqrt{c_a^2 + c_u^2}.
  • Ângulos medidos a partir da direção axial:
    \beta=\arctan\left(\frac{|w_u|}{c_a}\right)\qquad\text{(ângulo do vetor relativo em relação ao eixo axial)},âçã
\alpha=\arctan\left(\frac{c_u}{c_a}\right)\qquad\text{(ângulo do vetor absoluto em relação ao eixo axial)}.âçã
Essas equações são o que usamos para montar e resolver os triângulos de velocidade.

Passo 6

Cálculo completo do triângulo de velocidade na entrada (estação 4), usando \beta_{4}=70^\circ.
  • A partir de \beta_{4}=70^\circ e c_a conhecido, determinamos a componente tangencial do vetor relativo na entrada:
    |w_{u4}| = c_a\tan\beta_{4}.
    Substituindo c_a\approx 3{,}77\\ \mathrm{m/s} e \tan70^\circ\approx 2{,}74748:
    |w_{u4}|\approx 3{,}77\cdot 2{,}74748 \approx 10{,}36\\ \mathrm{m/s}.
    Observação sobre sinal: w_{u4}=c_{u4}-u. A magnitude positiva acima é o módulo da componente tangencial relativa; a orientação (sinal) depende do sentido de rotação e do sentido do fluxo (aqui tomamos positivo o sentido da rotação).
  • Magnitude do vetor relativo na entrada:
    w_{4}=\sqrt{c_a^2 + w_{u4}^2}\approx \sqrt{3{,}77^{2}+10{,}36^{2}}\approx 11{,}02\\ \mathrm{m/s}.
  • A partir de w_{u4}=c_{u4}-u obtemos a componente tangencial absoluta na entrada:
    c_{u4}=w_{u4}+u\approx 10{,}36+14{,}14\approx 24{,}50\\ \mathrm{m/s}.
  • Magnitude da velocidade absoluta na entrada:
    c_{4}=\sqrt{c_a^2 + c_{u4}^2}\approx \sqrt{3{,}77^{2}+24{,}50^{2}}\approx 24{,}79\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo absoluto de entrada \alpha_{4} (direção do vetor absoluto):
    \alpha_{4}=\arctan\left(\frac{c_{u4}}{c_a}\right)\approx \arctan\left(\frac{24{,}50}{3{,}77}\right)\approx 81{,}25^\circ.
Resumo do que fiz aqui e motivo: nós usamos \beta_4 (ângulo relativo dado) para obter w_{u4}. A partir de w_{u4} e u obtemos c_{u4} (pois c_{u4}=w_{u4}+u). Não foi assumido que c_{u4}=0 na entrada — normalmente entradas de turbinas têm algum giro absoluto (guias prévias imprimem velocidade tangencial).

Passo 7

Hipótese adotada para a saída e cálculo do triângulo de velocidade na saída (estação 5). Justificativa e cálculos.
  • Justificativa da hipótese: o enunciado não especifica c_{u5}. Em muitos exercícios básicos de turbinas axiais assume-se a descarga axial (saída sem giro absoluto), isto é c_{u5}=0 (saída com velocidade somente axial). Essa hipótese simplifica e é típica em exercícios didáticos — além disso permite obter um conjunto fechado de triângulos. Vou, portanto, assumir
    c_{u5}=0.
  • Com c_{u5}=0, a velocidade absoluta na saída é puramente axial:
    c_{5}=c_a\approx 3{,}77\\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha_{5}=0^\circ.
  • A componente tangencial relativa na saída é
    w_{u5}=c_{u5}-u = -u \quad\Rightarrow\quad |w_{u5}|=u\approx 14{,}14\\ \mathrm{m/s}.
  • Magnitude do vetor relativo na saída:
    w_{5}=\sqrt{c_a^2 + w_{u5}^2}\approx \sqrt{3{,}77^{2}+14{,}14^{2}}\approx 14{,}63\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo relativo na saída \beta_{5} (medido a partir do eixo axial) é
    \beta_{5}=\arctan\left(\frac{|w_{u5}|}{c_a}\right)=\arctan\left(\frac{u}{c_a}\right)\approx \arctan\left(\frac{14{,}14}{3{,}77}\right)\approx 75{,}18^\circ.
Interpretação: se a saída é axial absoluta ( c_{u5}=0), a velocidade relativa na saída aponta para trás em tangencial (porque as pás estão se movendo), formando um ângulo \beta_{5} com o eixo axial.

Resposta

Entrada (estação 4): c_a\approx 3{,}77\\ \mathrm{m/s};\\ u\approx 14{,}14\\ \mathrm{m/s};\\ w_{u4}\approx 10{,}36\\ \mathrm{m/s};\\ w_{4}\approx 11{,}02\\ \mathrm{m/s};\\ c_{u4}\approx 24{,}50\\ \mathrm{m/s};\\ c_{4}\approx 24{,}79\\ \mathrm{m/s};\\ \beta_{4}=70^\circ;\\ \alpha_{4}\approx 81{,}25^\circ.\n Saída (estação 5, hipótese \(c_{u5}=0): c_{u5}=0;\\ c_{5}=c_a\approx 3{,}77\\ \mathrm{m/s};\\ w_{u5}=-u\\ (\text{módulo}\\ \approx 14{,}14\\ \mathrm{m/s});\\ w_{5}\approx 14{,}63\\ \mathrm{m/s};\\ \beta_{5}\approx 75{,}18^\circ;\\ \alpha_{5}=0^\circ.ó)

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